Question

一次函數y=kx+k過點（1，4），且分別與x軸、y軸交于A、B點，點P（a，0）在x軸正半軸上運動，點Q（0，b）在y軸正半軸上運動，且PQ⊥AB．
（1）求k的值，并在直角坐標系中畫出一次函數的圖象；
（2）求a、b滿足的等量關系式；
（3）若△APQ是等腰三角形，求△APQ的面積．

Answer 1

分析：（1）由已知可得到其一次函數的解析式，從而求得A、B的坐標，據此即可畫出一次函數的圖象；
（2）根據已知可證明Rt△ABO∽Rt△QPO，相似三角形的對應邊成比例，從而可求得a、b滿足的等量關系式；
（3）已知△APQ是等腰三角形而沒有明確指出是哪兩邊相等，從而要分兩種情況進行分析，分別是AQ=PQ或AP=PQ再根據面積公式即可求得△APQ的面積．

解答：解：（1）∵一次函數y=kx+k的圖象經過點（1，4），
∴4=k×1+k，即k=2，∴y=2x+2，
當x=0時，y=2，當y=0時，x=-1，
即A（-1，0），B（0，2），
如圖，直線AB是一次函數y=2x+2的圖象；

（2）∵PQ⊥AB
∴∠QPO=90°-∠BAO
又∵∠ABO=90°-∠BAO
∴∠ABO=∠QPO
∴Rt△ABO∽Rt△QPO
∴

AO

QO

=

OB

OP

，即

1

b

=

2

a

∴a=2b；

（3）由（2）知a=2b，∴AP=AO+OP=1+a=1+2b，
AQ²=OA²+OQ²=1+b²，PQ²=OP²+OQ²=a²+b²=（2b）²+b²=5b²，
若AQ=PQ，即AQ²=PQ²，則1+b²=5b²，即b=

1

2

或-

1

2

（舍去），
此時，AP=2，OQ=

1

2

，S_△APQ=

1

2

×AP×OQ=

1

2

×2×

1

2

=

1

2

（平方單位），
若AP=PQ，則1+2b=

5

b，即b=2+

5

，此時AP=1+2b=5+2

5

，OQ=2+

5

，
S_△APQ=

1

2

×AP×OQ=

1

2

×（5+2

5

）×（2+

5

）=10+

9 5

2

（平方單位），
若AQ=AP，則（a+1）²=1+b²，解得b=-

4

3

，因為點Q在y軸正半軸上運動，故舍去；
∴△APQ的面積為

1

2

平方單位或（10+

9 5

2

）平方單位．

點評：此題考查學生對一次函數的解析式，圖象及等腰三角形的性質等知識點的綜合運用能力．