【題目】已知：如圖，直角△ABC 中，AC=BC，∠C=90°，∠CAB=∠ABC=45°，過點 B 作射線BD⊥AB 于 B，點 P 為 BC 邊上任一點，在射線上取一點 Q，使得 PQ=AP.
（1）請依題意補全圖形；
（2）試判斷 AP 和 PQ 的位置關系，并加以證明.
【答案】（1）圖見解析.（2）垂直，證明見解析.
【解析】
（1）根據題意在CB取點P，再以點P為圓心AP為半徑交BD于點Q，連接PQ.
（2）通過證明三角形全等，得到對應角相等，再根據等量代換得到∠APQ=90°即可得到AP與PQ垂直.
（1）
（2）
如圖作BD=AB，PM∥BD，過點Q作QG垂直于BH，并延長與PM相交于點M.
則三角形PMG與三角形DBH全等
∴PM=BD=AB
又三角形BGQ是等腰直角三角形
∴BG=QG
則PG-BG=MG-QG
即PB=MQ
在三角形PMQ與三角形ABP中
∴
（SSS）
∴∠BAP=∠MPQ
又∠BAP+∠CAP=∠MPQ+∠QPG=45°
則∠CAP=∠QPG
∵∠CAP+∠APC=90°
∴∠QPG +∠APC=90°
又∠APQ+(∠QPG +∠APC)=180°
則∠APQ=90°
故AP與PQ垂直.
舉一反三期末百分沖刺卷系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在直角坐標系中，直線y=﹣
x﹣1與x軸，y軸的交點分別為A、B，以x=﹣1為對稱軸的拋物線y=x2+bx+c與x軸分別交于點A、C，直線x=﹣1與x軸交于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在線段AB上是否存在一點P，使以A，D，P為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）若點Q在第三象限內，且tan∠AQD=2，線段CQ是否存在最小值，如果存在直接寫出最小值；如果不存在，請說明理由．
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【題目】如圖，正方形ABCD的邊長是2，點E是CD邊的中點，點F是邊BC上不與點B，C重合的一個動點，把∠C沿直線EF折疊，使點C落在點C′處．當△ADC′為等腰三角形時，FC的長為_____．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，小蘭用尺規作圖作△ABC邊AC上的高BH，作法如下：
①分別以點DE為圓心，大于DE的一半長為半徑作弧兩弧交于F；
②作射線BF，交邊AC于點H；
③以B為圓心，BK長為半徑作弧，交直線AC于點D和E；
④取一點K使K和B在AC的兩側；
所以BH就是所求作的高．其中順序正確的作圖步驟是（ ）
A.①②③④B.④③①②C.②④③①D.④③②①
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】已知關于x的方程
=1的解為負數，且關于x、y的二元一次方程組
的解之和為正數，則下列各數都滿足上述條件a的值的是（ ）
A. 
，2，5 B. 0，3，5 C. 3，4，5 D. 4，5，6
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，Rt△ABC≌Rt△CED（∠ACB＝∠CDE＝90°），點D在BC上，AB與CE相交于點F
(1) 如圖1，直接寫出AB與CE的位置關系
(2) 如圖2，連接AD交CE于點G，在BC的延長線上截取CH＝DB，射線HG交AB于K，求證：HK＝BK
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是AB延長線上一點，CD與⊙O相切于點E，AD⊥CD于點D．
（1）求證：AE平分∠DAC；
（2）若AB=4，∠ABE=60°．
①求AD的長；
②求出圖中陰影部分的面積.
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