Question

【題目】基本模型：如圖1，點A，F，B在同一直線上，若∠A=∠B=∠EFC=90°，易得△AFE～△BCF．

（1）模型拓展：如圖2，點A，F，B在同一直線上，若∠A=∠B=∠EFC，求證：△AFE～△BCF；

（2）拓展應用：如圖3，AB是半圓⊙O的直徑，弦長AC=BC=4，E，F分別是AC，AB上的一點，若∠CFE=45°，若設AE=y，BF=x，求y與x的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）y=﹣x2+x（0≤x≤8）

【解析】

試題分析：（1）利用已知得出∠E=∠CFB，進而利用相似三角形的判定方法得出即可；

（2）利用（1）得出△AFE∽△BCF，則=，進而求出y與x的函數關系式．

解：（1）證明：如圖2，∵∠A=∠EFC，

∴∠E+∠EFA=∠EFA+∠CFB，

∴∠E=∠CFB，

∵∠A=∠B，

∴△AFE∽△BCF；

（2）解：如圖3，∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴AB==8，

∵AC=BC，

∴∠A=∠B=45°，

∴∠A=∠B=∠CFE=45°，

由（1）可得△AFE∽△BCF，

∴，

即，

∴y=﹣x2+x（0≤x≤8），