Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦（非直徑）CD⊥AB，P是⊙O上不同于C、D的任一點．
（1）當點P在劣弧CD上運動時，∠APC與∠APD的關系如何？請證明你的結論；
（2）當點P在優弧CD上運動時，∠APC與∠APD的關系如何？請證明你的結論（不要求討論P點與A點重合的情形）

Answer 1

解：∵弦CD⊥AB，AB是直徑，
∴弧AC=弧AD；
∴∠APC=∠APD，
（2）∠APC+∠APD=180°，
由垂徑定理可知=，
∴∠APD=∠ADC，
由圓內接四邊形的性質可知∠APC+∠ADC=180°，
∴∠APC+∠APD=180°（如圖中虛線所示）．
分析：由垂徑定理知：弧AC=弧AD；當P在劣弧CD上時，∠APC和∠APD所對的是等弧，因此它們相等；
當P在優弧CD上時，它們所對的弧正好構成整個圓周，即兩段弧所對圓心角的度數和為360°，根據圓周角定理即可得出∠APD+∠APC=180°．
點評：此題主要考查的是垂徑定理、圓周角定理及圓心角、弧的關系．