Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AC為對(duì)角線，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E使CE=CA，連接AE。F為AB上一點(diǎn)，且BF=DE，連接FC.

（1）若DE=1，CF=2，求CD的長(zhǎng)。

（2）如圖2，點(diǎn)G為線段AE的中點(diǎn)，連接BG交AC于H，若∠BHC+∠ABG=600，求證：AF+CE=AC.

Answer 1

【答案】（1）3；（2）見解析.

【解析】分析：（1）先證明△ADE≌△CBF，可得AE=CF= ，設(shè)CD=x，則CE=AC=x+1 ，在Rt△ACD中根據(jù)勾股定理列方程求解；

（2）延長(zhǎng)BG交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，先證明△ABG≌EMG，從而可得CE+AF= 2CD，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可求∠M=∠MCG=∠ACG=∠ABG=15°，從而∠ACD=30，由cos∠ACD=得,進(jìn)而可證明結(jié)論.

詳解：(1)解：∵矩形ABCD ，

∴AD=BC，∠ADC=∠ABC=90 .

∵∠ADE+∠ADC=180 ，

∴∠ADC=90 ，

∴∠ADC=∠ABC .

∵BF=DE ，

∴△ADE≌△CBF ，

∴AE=CF= ，

∴在Rt△ABC中，

AD= ，

設(shè)CD=x，則CE=AC=x+1 ，

，

解得： ，

即： ；

(2)證明：延長(zhǎng)BG交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M

易證△ABG≌EMG，

∴GM=GB,AB=CD,∠ABG=∠M，

又BF=ED，

∴AF=ME.

∴CE+AF=CE+ME=2CD,

連接CG, 在Rt△MCB，

CG=MG，

∴∠M=∠MCG.

又CA=CE，且點(diǎn)G是AE的中點(diǎn),

∴ ∠MCG=∠ACG,

又∠BHC=∠M+∠MCG+∠ACG, ∠BHC+∠ABG=60,

∴∠M=∠MCG=∠ACG=∠ABG=15

∴∠ACD=30

∵cos∠ACD=,

∴,

∴AF+CE=AC.