Question

【題目】如圖，點M是直線y=2x+3上的動點，過點M作MN垂直于x軸于點N，y軸上是否存在點P，使△MNP為等腰直角三角形，請寫出符合條件的點P的坐標 ．

Answer 1

【答案】（0，0），（0，1），（0， ），（0，﹣3）
【解析】解：當M運動到（﹣1，1）時，ON=1，MN=1，
∵MN⊥x軸，所以由ON=MN可知，（0，0）和（0，1）就是符合條件的兩個P點；
又∵當M運動到第三象限時，要MN=MP，且PM⊥MN，
設點M（x，2x+3），則有﹣x=﹣（2x+3），
解得x=﹣3，所以點P坐標為（0，﹣3）．
如若MN為斜邊時，則∠ONP=45°，所以ON=OP，設點M（x，2x+3），
則有﹣x=﹣ （2x+3），化簡得﹣2x=﹣2x﹣3，
這方程無解，所以這時不存在符合條件的P點；
又∵當點M′在第二象限，M′N′為斜邊時，這時N′P=M′P，∠M′N′P=45°，
設點M′（x，2x+3），則OP=ON′，而OP= M′N′，
∴有﹣x= （2x+3），
解得x=﹣ ，這時點P的坐標為（0， ）．
綜上，符合條件的點P坐標是（0，0），（0， ），（0，﹣3），（0，1）．
所以答案是：（0，0），（0，1），（0， ），（0，﹣3）．


【考點精析】本題主要考查了一次函數的性質和一次函數的圖象和性質的相關知識點，需要掌握一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小；一次函數是直線，圖像經過仨象限；正比例函數更簡單,經過原點一直線；兩個系數k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠才能正確解答此題．