Question

【題目】已知關于x的方程x2﹣（2k+3）x+k2=0有兩個不相等的實數根x1 ， x2 ．
（1）求k的取值范圍；
（2）若兩不相等的實數根滿足x1x2﹣x12﹣x22=﹣9，求實數k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得，△=[﹣（2k+3）]2﹣41k2=12k+9＞0

∴k＞﹣

（2）解：由已知可得x1+x2=2k+3，x1x2=k2，

∵x1x2﹣x12﹣x22=﹣9，

∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]=﹣9，

即3x1x2﹣（x1+x2）2=﹣9，

∴3k2﹣（2k+3）2=﹣9，

整理得k2+12k=0，解得k1=0，k2=﹣12，

又k＞﹣ ，

∴k=0．

【解析】（1）根據判別式的意義得到△=[﹣（2k+3）]2﹣41k2=12k+9＞0，然后解不等式即可；（2）根據根與系數的關系得到x1+x2=2k+3，x1x2=k2 ， 再把x1x2﹣x12﹣x22=﹣9變形為即3x1x2﹣（x1+x2）2=﹣9，則3k2﹣（2k+3）2=﹣9，然后解關于k的方程，最后利用k的范圍確定滿足條件的k的值．
【考點精析】關于本題考查的求根公式和根與系數的關系，需要了解根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商才能得出正確答案．