Question

（2012•黃石）已知拋物線C₁的函數解析式為y=ax²+bx-3a（b＜0），若拋物線C₁經過點（0，-3），方程ax²+bx-3a=0的兩根為x₁，x₂，且|x₁-x₂|=4．
（1）求拋物線C₁的頂點坐標．
（2）已知實數x＞0，請證明x+

1

x

≥2，并說明x為何值時才會有x+

1

x

=2．
（3）若將拋物線先向上平移4個單位，再向左平移1個單位后得到拋物線C₂，設A（m，y₁），B（n，y₂）是C₂上的兩個不同點，且滿足：∠AOB=90°，m＞0，n＜0．請你用含m的表達式表示出△AOB的面積S，并求出S的最小值及S取最小值時一次函數OA的函數解析式．
（參考公式：在平面直角坐標系中，若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則P，Q兩點間的距離為

(x2-x1)2+(y2-y1)2

）

Answer 1

分析：（1）求拋物線的頂點坐標，需要先求出拋物線的解析式，即確定待定系數a、b的值．已知拋物線圖象與y軸交點，可確定解析式中的常數項（由此得到a的值）；然后從方程入手求b的值，題干給出了兩根差的絕對值，將其進行適當變形（轉化為兩根和、兩根積的形式），結合根與系數的關系即可求出b的值．
（2）x•

1

x

=1，因此將x+

1

x

配成完全平方式，然后根據平方的非負性即可得證．
（3）結合（1）的拋物線的解析式以及函數的平移規律，可得出拋物線C₂的解析式；在Rt△OAB中，由勾股定理可確定m、n的關系式，然后用m列出△AOB的面積表達式，結合不等式的相關知識可確定△OAB的最小面積值以及此時m的值，進而由待定系數法確定一次函數OA的解析式．

解答：解：（1）∵拋物線過（0，-3）點，∴-3a=-3
∴a=1
∴y=x²+bx-3
∵x²+bx-3=0的兩根為x₁，x₂且|x₁-x₂|=4
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=4，且b＜0
∴b=-2
∴y=x²-2x-3=（x-1）²-4
∴拋物線C₁的頂點坐標為（1，-4）．

（2）∵x＞0，∴x+

1

x

-2=（

x

-

1

x

）²≥0
∴x+

1

x

≥2，顯然當x=1時，才有x+

1

x

=2．

（3）由平移知識易得C₂的解析式為：y=x²
∴A（m，m²），B（n，n²）
∵△AOB為直角三角形，
∴OA²+OB²=AB²
∴m²+m⁴+n²+n⁴=（m-n）²+（m²-n²）²
化簡得：mn=-1
∴S_△AOB=

1

2

(m+n)2

=

1

2

m2+n2+2mn

=

1

2

2+m2+n2

=

1

2

2+m2+ 1 m2

=

1

2

(m+ 1 m )2

=

1

2

（m+

1

m

）≥

1

2

•2=1
∴S_△AOB的最小值為1，此時m=1，A（1，1）
∴直線OA的一次函數解析式為y=x．

點評：該題考查了二次函數解析式的確定、函數圖象的平移、不等式的應用等知識，解題過程中完全平方式的變形被多次提及，應熟練掌握并能靈活應用．