Question

已知關于x的方程（n-1）x²+mx+1=0①有兩個相等的實數根．
（1）用含n的代數式表示m²；
（2）求證：關于x的m²x²-2mx-m²-2n²+3=0方程②必有兩個不相等的實數根；
（3）若方程①的一根的相反數恰好是方程②的一個根，求代數式m²n+12n的值．

Answer 1

解：（1）∵關于x的方程（n-1）x²+mx+1=0①有兩個相等的實數根，
∴△₁=b²-4ac=m²-4（n-1）×1=0，且n-1≠0，
解得，m²=4（n-1）（n≠1）；
∵m²≥0，n≠1．
∴m²=4（n-1），且n＞1．

（2）證明：由（1）知，m²=4（n-1）（n＞1），即m≠0．
∵關于x的m²x²-2mx-m²-2n²+3=0方程的二次項系數a=m²，一次項系數b=-2m，常數項c=-m²-2n²+3，
∴△₂=b²-4ac
=（-2m）²-4m²•（-m²-2n²+3）
=4m²•（m²+2n²-2）
=4m²•[4（n-1）+2n²-2]
=8m²（n+3）（n-1）．
∵m²＞0，n＞1．
∴△₂＞0，
∴方程②有兩個不相等的實數根；

（3）解：由m²=4（n-1），得n-1=．代入第一個方程，得
x²+mx+1=0，解得x=-．
把代入第二個方程，得
m²×（）²-2m×（）-m²-2n²+3=0．
整理得2n²+4n=7．
∴m²n十12n=n（m²+12）
=n（4n-4+12）
=4n²+8n
=2（2n²+4n）
=14．
分析：（1）、（2）方程①有兩個相等的實數根，則n-1≠0，△₁=0，可得m²=4n-4＞0，代入方程②的判別式△₂=8m²（n+3）（n-1）＞0．
（3）把（1）中根據①有兩個相等的實數根，即方程的判別式△₁=0，得到的關于m，n的一個等式，變形為用含m的代數式表示n的形式，消去方程①中的m，然后解方程①，求出方程的根，根據若方程①的一根的相反數恰好是方程②的一個根，即可求解．
點評：本題考查了根的判別式、根與系數的關系．一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．