Question

武當山風景管理區，為提高游客到某景點的安全性，決定將到達該景點的步行臺階進行改善，把傾角由44°減至32°，已知原臺階AB的長為5米（BC所在地面為水平面）．
（1）改善后的臺階會加長多少？（精確到0.01米）
（2）改善后的臺階多占多長一段地面？（精確到0.01米）

Answer 1

解：（1）如圖，在Rt△ABC中，AC=AB•sin44°=5sin44°≈3.473（米）．
在Rt△ACD中，AD=≈6.554（米），∴AD-AB=6.554-5≈1.55（米）．
答：改善后的臺階會加長1.55米．

（2）如圖，在Rt△ABC中，BC=AB•cos44°=5cos44°≈3.597（米）．
在Rt△ACD中，CD=≈5.558（米）．
∴BD=CD-BC=5.558-3.597≈1.96（米）．
答：改善后的臺階多占1.96米長的一段地面．
分析：（1）要求臺階加長的部分，需求臺階改善后的新長度，改后的臺階組成的直角三角形中，有坡角的度數，只要知道臺階的垂直距離便可，因為臺階修改前后高沒變，因此可根據原臺階構成的直角三角形來求出臺階的垂直高度．這樣，就能求出改后的臺階的長，也就能求出增加了多少．
（2）修改前后的臺階構成的兩個直角三角形中，已知了坡角，又求得了臺階的垂直高度，那么他們的水平距離就都能求出了，多占的地面的長度其實就是這兩個水平距離的差．
點評：本題是將實際問題轉化為直角三角形中的數學問題，可把條件和問題放到直角三角形中，進行解決．