Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是平行四邊形，AD＝6，若OA、OB的長是關于x的一元二次方程的兩個根，且OA＞OB.

（1）求OA、OB的長；
（2）若點E為x軸上的點，且S_△AOE＝，求經過D、E兩點的直線解析式，并判斷△AOE與△AOD是否相似；
（3）若點M在平面直角坐標系內，則在直線AB上是否存在點F，使以A、C、F、M為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出F點的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）OA＝4，OB＝3；（2）或，相似；
（3）（-3，0），（3，8），（，），（，）

試題分析：（1）求出一元二次方程的兩個根，再結合OA＞OB即可得到結果；
（2）先根據三角形的面積求出點E的坐標，并根據平行四邊形的對邊相等的性質求出點D的坐標，然后利用待定系數法求得直線的解析式；分別求出兩三角形夾直角的兩對應邊的比，如果相等，則兩三角形相似，否則不相似；
（3）根據菱形的性質，分AC與AF是鄰邊并且點F在射線AB上與射線BA上兩種情況，以及AC與AF分別是對角線的情況分別進行求解計算．
（1）解一元二次方程得，
∵OA＞OB
∴OA＝4，OB＝3；
（2）設E（x，0），由題意得

解得
∴E（，0）或（，0），
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴點D的坐標是（6，4）
設經過D、E兩點的直線的解析式為
若圖象過點（，0），（6，4）
則，解得
此時函數解析式為
若圖象過點（，0），（6，4）
則，解得
此時函數解析式為
在△AOE與△DAO中，
，

又∵∠AOE=∠OAD=90°
∴△AOE∽△DAO；
（3）∵OB=OC=3，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF是鄰邊，點F在射線AB上時，AF=AC=5，
所以點F與B重合，
即F（-3，0）；
②AC、AF是鄰邊，點F在射線BA上時，M應在直線AD上，且FC垂直平分AM，
點F（3，8）；
③AC是對角線時，作AC垂直平分線L，AC解析式為，
則直線L過（，2），且k值為（平面內互相垂直的兩條直線k值乘積為-1），
∴L解析式為，聯立直線L與直線AB求交點，
∴F（，）；
④AF是對角線時，過C做AB垂線，垂足為N，根據等積法求出，勾股定理得
做A關于N的對稱點即為F，，
過F做y軸垂線，垂足為G，
∴F（，）；
綜上所述，滿足條件的點有四個：（-3，0），（3，8），（，），（，）.
點評：解答本題的關鍵是要注意（3）中求點F的坐標要根據AC與AF是鄰邊與對角線的情況進行討論，不要漏解．