Question

若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，我們把這條對角線叫這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形．如菱形就是和諧四邊形．

（1）如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求證：BD是梯形ABCD的和諧線；

（2）如圖2，在12×16的網格圖上（每個小正方形的邊長為1）有一個扇形BAC，點A．B．C均在格點上，請在答題卷給出的兩個網格圖上各找一個點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形的兩條對角線都是和諧線，并畫出相應的和諧四邊形；

（3）四邊形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四邊形ABCD的和諧線，求∠BCD的度數．

Answer 1

考點：

四邊形綜合題．

分析：

（1）要證明BD是四邊形ABCD的和諧線，只需要證明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；

（2）根據扇形的性質弧上的點到頂點的距離相等，只要D在上任意一點構成的四邊形ABDC就是和諧四邊形；連接BC，在△BAC外作一個以AC為腰的等腰三角形ACD，構成的四邊形ABCD就是和諧四邊形，

（3）由AC是四邊形ABCD的和諧線，可以得出△ACD是等腰三角形，從圖4，圖5，圖6三種情況運用等邊三角形的性質，正方形的性質和30°的直角三角形性質就可以求出∠BCD的度數．

解答：

解：（1）∵AD∥BC，

∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．

∵∠BAD=120°，

∴∠ABC=60°．

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC=30°，

∴∠ABD=∠ADB，

∴△ADB是等腰三角形．

在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，

∴∠BDC=∠C=75°，

∴△BCD為等腰三角形，

∴BD是梯形ABCD的和諧線；

（2）由題意作圖為：圖2，圖3

（3）∵AC是四邊形ABCD的和諧線，

∴△ACD是等腰三角形．

∵AB=AD=BC，

如圖4，當AD=AC時，

∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC

∴△ABC是正三角形，

∴∠BAC=∠BCA=60°．

∵∠BAD=90°，

∴∠CAD=30°，

∴∠ACD=∠ADC=75°，

∴∠BCD=60°+75°=135°．

如圖5，當AD=CD時，

∴AB=AD=BC=CD．

∵∠BAD=90°，

∴四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°

如圖6，當AC=CD時，過點C作CE⊥AD于E，過點B作BF⊥CE于F，

∵AC=CD．CE⊥AD，

∴AE=AD，∠ACE=∠DCE．

∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，

∴四邊形ABFE是矩形．

∴BF=AE．

∵AB=AD=BC，

∴BF=BC，

∴∠BCF=30°．

∵AB=BC，

∴∠ACB=∠BAC．

∵AB∥CE，

∴∠BAC=∠ACE，

∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°，

∴∠BCD=15°×3=45°．

點評：

本題是一道四邊形的綜合試題，考查了和諧四邊形的性質的運用，和諧四邊形的判定，等邊三角形的性質的運用，正方形的性質的運用，30°的直角三角形的性質的運用．解答如圖6這種情況容易忽略，解答時合理運用分類討論思想是關鍵．