Question

【題目】如圖，在等腰直角三角形ABC中，，，D是AB的中點，E、F分別是AC、BC上的點（點E不與端點A、C重合），連接EF并取EF的中點O，連接DO并延長至點G，使，連接DE、GE、GF.

（1）求證：四邊形EDFG是平行四邊形；

（2）若，探究四邊形EDFG的形狀？

（3）在（2）的條件下，當E點在何處時，四邊形EDFG的面積最小，并求出最小值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）當E點在AC中點時，四邊形EDGF的面積最小為4.

【解析】

（1）根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得結論；

（2）連接CD，根據等腰直角三角形的性質可得出∠A＝∠DCF＝45°、AD＝CD，結合AE＝CF可證出△ADE≌△CDF（SAS），根據全等三角形的性質可得出DE＝DF、ADE＝∠CDF，通過角的計算可得出∠EDF＝90°，再根據（1）中的結論，由此即可證出四邊形EDFG是正方形；

（3）過點D作DE′⊥AC于E′，根據等腰直角三角形的性質可得出DE′的長度，從而得出2≤DE＜2，再根據正方形的面積公式即可得出四邊形EDFG的面積的最小值．

（1）證明：∵O是EF的中點，

∴OE＝OF，

∵OG＝OD，

∴四邊形EDFG是平行四邊形；

（2）解：四邊形EDFG是正方形，理由是：

連接CD，如圖1所示，

∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AB的中點，

∴∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD．

在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（SAS），

∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF．

∵∠ADE＋∠EDC＝90°，

∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°，

由（1）知：四邊形EDFG是平行四邊形；

∴四邊形EDFG是正方形；

（3）解：過點D作DE′⊥AC于E′，如圖2所示．

∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，

∴DE′＝BC＝2，AB＝4，點E′為AC的中點，

∴2≤DE＜2（點E與點E′重合時取等號）．

∴4≤S四邊形EDFG＝DE2＜8．

∴當點E為線段AC的中點時，四邊形EDFG的面積最小，該最小值為4．