Question

如圖，平面直角坐標系的單位是厘米，直線AB的解析式為y=

3

x-6

3

，分別與x軸、y軸相交于A、B兩點．動點C從點B出發沿射線B以3cm/秒的速度運動，以C點為圓心作半徑為1cm的⊙C
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）設⊙C運動的時間為t，當⊙C和坐標軸相切時，則時間t的值是

2

3

秒或4-

2

9

3

秒或4+

2

9

3

秒

：（直接寫出答案，不必寫推理過程．）
（3）在點C運動的同時，另有動點P從O點出發沿射線OA以2cm/秒的速度運動，以P點為圓心作半徑為3cm的⊙P；若點C與點P同時分別從點B、點O開始運動，問是否存在一點P，使⊙P與⊙C相外切？如果存在，求點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由直線AB的解析式為y=

3

x-6

3

，分別與x 軸y軸相交于A、B 兩點，即可求得A、B兩點的坐標；
（2）分別從當⊙C與y軸相切時，當⊙C與x軸相切，且在x軸下方時與當⊙C與x軸相切，且在x軸上方時去分析，利用切線的性質由相似三角形的性質，即可求得答案；
（3）過C作CM⊥x軸于M，連接CP，求出AC，CM，PM，CP，根據勾股定理得出方程，求出t的值，即可得出P的坐標．

解答：解：（1）∵直線AB的解析式為y=

3

x-6

3

，分別與x 軸y軸相交于A、B 兩點．
∴當x=0時，y=-6

3

，當y=0時，x=6，
∴A（6，0），B（0，-6

3

）；

（2）∵A（6，0），B（0，-6

3

）；
∴OA=6，OB=6

3

，
∴AB=

OA2+OB2

=12，
當⊙C與y軸相切時，設切點為D，連接CD，
則CD⊥y軸，
∴CD∥OA，
∴△BCD∽△BAO，
∴CD：OA=BC：AB，
即1：6=BC：12，
∴BC=2，
∵動點C從點B出發沿射線BA以3cm/秒的速度運動，
∴t=

2

3

；
當⊙C與x軸相切，且在x軸下方時，
設切點為E，連接CE，則CE⊥x軸，
∴CE∥OB，
∴△AEC∽△AOB，
∴EC：OB=AC：AB，
即1：6

3

=AC：12，
解得：AC=

2

3

3

，
∴BC=AC-EC=12-

2

3

3

，
∴t=4-

2

9

3

；
當⊙C與x軸相切，且在x軸上方時，BC=12+

2

3

3

，
∴t=4+

2

9

3

；
綜上t=

2

3

或t=4-

2

9

3

或t=4+

2

9

3

；
故答案為：

2

3

秒或4-

2

9

3

秒或4+

2

9

3

秒；


（3）
存在一點P，使⊙P與⊙C相外切，
理由是：設t秒后兩圓外切，
如圖有兩種情況：過C作CM⊥x軸于M，連接CP，
∵⊙P的半徑是3，⊙C的半徑是1，⊙C和⊙P外切，
∴CP=1+3=4，
∵OB=6

3

，OA=6，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=12，
∴∠OBA=30°，∠OAB=60°，
∵BC=3t，AB=12，
∴AC=3t-12，
則CM=AC×sin60°=

(3t-12) 3

2

，AM=

3t-12

2

，
∵OP=2t，
∴MP=2t-6-

3t-12

2

=

1

2

t，
在Rt△CMP中，由勾股定理得：CP²=CM²+MP²，
即16=[

(3t-12) 3

2

]²+（

1

2

t）²，
7t²-54t+92=0，
解得：t₁=

27- 85

7

，t₂=

27+ 85

7

，
∴2t₁=

54-2 85

7

＜6（舍去），2t₂=

54+2 85

7

，
當P在P′點，C在C′點時，同理得出方程16=[

(12-3t) 3

2

]²+（

1

2

t）²，
解得：t₃=

27- 85

7

，t₄=

27+ 85

7

，
∴2t₃=

54-2 85

7

，2t₄=

54+2 85

7

＞6（舍去），
即P的坐標是（

54+2 85

7

，0）或（

54-2 85

7

，0）．

點評：此題考查了切線的性質、相似三角形的判定與性質、直線與圓的位置關系以及一次函數的性質．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想、分類討論思想與數形結合思想的應用．