Question

【題目】如圖所示，一次函數y＝kx+b的圖象與反比例函數y＝的圖象交于A(1，t+1)，B(t-5，-1)兩點．

(1)求一次函數和反比例函數的解析式；

(2)若點(c，p)和(n，q)是反比例函數y＝圖象上任意兩點，且滿足c＝n+1時，求的值．

(3)若點M(x1，y1)和N(x2，y2)在直線AB(不與A、B重合)上，過M、N兩點分別作y軸的平行線交雙曲線于E、F，已知x1＜-3，0＜x2＜1，當x1x2＝-3時，判斷四邊形NFEM的形狀．并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數的解析式為y＝，一次函數解析式為y＝x+2；（2）；（3）四邊形MNFE為平行四邊形，理由見解析

【解析】

（1）根據反比例函數的定義，求出t的值，然后得到點A和點B的坐標，利用待定系數法進行求解，即可得到答案；

（2）根據反比例函數的定義，表示出c和n的值，由c＝n+1，代入計算，即可得到答案；

（3）先由點的坐標，得到ME和NF的長度，利用作差法證明兩條線段相等，然后根據一組對邊平行且相等即可證明是平行四邊形.

解：（1）∵A(1，t+1)，B(t﹣5，﹣1)兩點在反比例函數y＝的圖象上，

∴t+1＝﹣(t﹣5)＝m，

即t+1＝5﹣t，

解得t＝2．

當t＝2時，A(1，3)，B(﹣3，﹣1)，

∴m＝3，

∴反比例函數的解析式為：y＝．

∵A、B在一次函數y＝kx+b的圖象上，

∴，解得：，

∴一次函數的解析式為：y＝x+2；

（2）∵點(c，p)和(n，q)在反比例函數y＝圖象上，

∴cp＝nq＝m＝3

c=，n=

∵c＝n+1，

∴，

∴；

（3）四邊形MNFE為平行四邊形，

由題意可知，M(x1，x1+2)，N(x2，x2+2)，E(x1，)，F(x2，)，

即ME＝x1+2﹣，NF＝x2+2﹣，

∵ME﹣NF=(x1+2﹣)－(x2+2﹣)

即ME﹣NF=(x1﹣x2)(1+)

∵x1＜﹣3，0＜x2＜1，

∴x1﹣x2≠0，

∵x1x2＝﹣3

∴1+＝0，

∴ME﹣NF＝0，

即ME＝NF

又∵ME∥NF，

∴四邊形MNFE為平行四邊形