Question

(2006重慶課改，28)(10分)如圖1所示，一張三角形紙片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成兩個三角形(如圖2所示)．將紙片沿直線(AB)方向平移(點A，，，B始終在同一條直線上)，當點與點B重合時，停止平移．在平移的過程中，與交于點E，與、分別交于點F、P．

圖1

圖2

(1)當平移到如圖3所示的位置時，猜想圖中的數量關系，并證明你的猜想；

圖3

(2)設平移距離為x，重疊部分的面積為y，請寫出y與x的函數關系式，以及自變量x的取值范圍；

(3)對于(2)中結論是否存在這樣的x，使得重疊部分面積等于原△ABC紙片面積的？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)．(1分) 因為∥，所以． 又因為∠ACB=90°，CD是斜邊AB的中線， 所以DC=DA=DB，即． 所以，所以．(2分) 所以．同理：． 又因為，所以．所以．(3分) (2)因為在RtΔABC中，AC=8，BC=6，所以由勾股定理，得AB=10．即． 又因為，所以 ．所以． 在中，到的距離就是ΔABC的AB邊上的高，為． 設的邊上的高為h，由探究，得，所以． 所以．．(5分) 又因為，所以． 又因為． 所以．(7分) 而． 所以(0≤x≤5)．(8分) (3)存在．當時，即． 整理，得．解得，． 即當或x=5時，重疊部分面積等于原ΔABC面積的．(10分)