Question

如圖，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a＞3）．動點M，N同時從B點出發，分別沿B⇒A，B⇒C運動，速度是1厘米/秒．過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q．當點N到達終點C時，點M也隨之停止運動．設運動時間為t秒．

（1）若a=4厘米，t=1秒，則PM= _________ 厘米；

（2）若a=5厘米，求時間t，使△PNB∽△PAD，并求出它們的相似比；

（3）若在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍；

（4）是否存在這樣的矩形：在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面積都相等？若存在，求a的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）PM=;(2)當t=2時，使△PNB∽△PAD，相似比為2：3;（3）3＜a≤6;（4）∵3＜a≤6時，當a=2時梯形PMBN與梯形PQDA的面積、梯形PQCN的面積相等．

【解析】

試題分析：（1）要想求出PM的長度,可以利用△ANB∽△APM得到比例,當t=1時，MB=1，NB=1，AM=3，∴PM=;（2）當△PNB∽△PAD時,可以得到比例,∵△ANB∽△APM, ∴，∴,可以求出t;（3）要判斷兩個梯形的面積是否相等,只需要把各自的面積表示出來,得到方程,方程有解,則存在,由題,△AMP∽△ABN，∴,即，∴PM=，∵PQ=3﹣，當梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，即，化簡得t=，∵t≤3，∴3＜a≤6;（4）由(2)知道,當3＜a≤6時，梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，∴梯形PQCN的面積與梯形PMBN的面積相等即可，將兩個梯形的面積表示出來,得到方程,方程有解,則a存在,則CN=PM，∴=3﹣t，得t²﹣2at+3a=0，把t=代入，得9a³﹣108a=0，∵a≠0，∴9a²﹣108=0，∴a=±2，∴a=2,當a=2時梯形PMBN與梯形PQDA的面積、梯形PQCN的面積相等．

試題解析：（1）當t=1時，MB=1，NB=1，AM=4﹣1=3，

∵PM∥BN,

∴△ANB∽△APM，

∴，

∴PM=;

（2）由題,∵△PNB∽△PAD，

∴，

∵△ANB∽△APM,

∴，

∴,

∴t=2，相似比為2：3;

（3）∵PM⊥AB，CB⊥AB，∠AMP=∠ABC，

∴△AMP∽△ABN，

∴,即，

∴PM=，

∵PQ=3﹣，

當梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，即==，

化簡得t=，

∵t≤3，

∴≤3，

則a≤6，

∴3＜a≤6;

（4）由(2)知道,當3＜a≤6時，梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，

∴梯形PQCN的面積與梯形PMBN的面積相等即可，則CN=PM，

∴=3﹣t，

兩邊同時乘以a，得at﹣t²=3a﹣at，

整理，得t²﹣2at+3a=0，

把t=代入，整理得9a³﹣108a=0，

∵a≠0，

∴9a²﹣108=0，

∴a=±2，

∴a=2,

∴存在a，當a=2時梯形PMBN與梯形PQDA的面積、梯形PQCN的面積相等．

考點：1.三角形的相似;2.一元二次方程;3.不等式.