Question

【題目】如圖已知為⊙的直徑，切⊙于點，弦于點，連結.

（1）探索滿足什么條件時，有，并加以證明.

（2）當，，，求△面積.

Answer 1

【答案】（1）當AC平分∠BAD時，有AD⊥CD，理由見解析；（2）△OCF面積為12cm2

【解析】

（1）連接OC，由等邊對等角得到∠OCA =∠OAC．再由角平分線定義得到∠OAC =∠DAC，等量代換得到∠OCA = ∠DAC ，根據內錯角相等，兩直線平行，得到 OC∥AD．由切線的性質及平行線的性質即可得出結論；

（2）先證明AC平分∠BAD，再根據角平分線的性質得到CD =CE，由垂徑定理得到CF的長．在Rt△OEC中，由勾股定理得到OE的長，根據三角形的面積公式即可得出結論．

（1）當AC平分∠BAD時，有AD⊥CD．證明如下：

連接OC．

∵ OA = OC，∴ ∠OCA =∠OAC．

∵AC平分∠BAD，∴ ∠OAC =∠DAC，∴ ∠OCA = ∠DAC ，∴ OC∥AD．

∵ CD切⊙O于C點，∴ OC⊥CD，∴∠OCD=90°．

∵OC∥AD，∴∠ADC=180°－∠OCD=90°，∴AD⊥CD．

(2) 連接OF．

∵ CD切⊙O于C點，∴ OC⊥CD．

∵ AD⊥CD，∴ OC∥AD，∴∠OCA=∠DAC

∵ OA = OC，∴ ∠OCA =∠OAC，∴∠OAC =∠DAC，∴ AC平分∠BAD，∴ CD =CE．

∵ OA =5，CD =4，∴OC=OA=5，CE=4．

∵CF⊥AB ，∴CF = 2CE= 2×4=8，OE===3．

△OCF面積=CF×OE÷2= 8×3÷2=12．

故△OCF面積為12cm2．