Question

【題目】如圖，在矩形紙片中，cm，cm。點在邊上，將沿折疊，得，連接, .

(1)當點落在邊上時， ；

(2)當點是的中點時，求的長;

(3)當分別滿足下列條件時，求相應的的長:

①；②.

Answer 1

【答案】(1)2； (2)；(3)①；② ．

【解析】（1）如圖1，根據已知條件得到四邊形ABPE是正方形，求得PC=2，根據勾股定理得到CE的長；

（2）如圖2，取CE的中點F，連接PF，由點P是BC的中點，得到PB=PC=6，根據勾股定理得到PA的長，根據折疊的性質得到∠APE=∠APB，PE=PB=6， PC=PE，根據等腰三角形的性質得到∠EPF=∠CPF，∠PFC=90°，CE=2CF，由余角的性質得到∠CPF=∠PAB，根據相似三角形的得到CF的長，于是得到結論；

（3）①如圖3，過E作MN⊥AD于M，交BC于N，則MN⊥BC，根據勾股定理得到ME的長，求得EN=MN﹣ME=2，根據相似三角形的性質得到PB的長；

②如圖3，過E作EQ⊥CD于Q，根據勾股定理和相似三角形的性質即可得到結論．

（1）如圖1．∵將△PAB沿AP折疊，得△PAE，∴四邊形ABPE是正方形，

∴PB=PE=AB=10，∴PC=2，∴CE==2．

故答案為：2；

（2）如圖2，取CE的中點F，連接PF．

∵點P是BC的中點，∴PB=PC=6．

∵AB=10，∴PA==2．

∵將△PAB沿AP折疊，得△PAE，∴∠APE=∠APB，PE=PB=6，∴PC=PE．

∵點F是CE的中點，∴∠EPF=∠CPF，∠PFC=90°，CE=2CF，∴∠APF=90°，∴∠APB+∠CPF=∠APB+∠PAB=90°，∴∠CPF=∠PAB，∴△PAB∽△CPF，∴，∴CF=，∴CE=2CF=；

（3）①如圖3，過E作MN⊥AD于M，交BC于N，則MN⊥BC．

∵DE=CD，AE=AB=CD=DE，∴AE=10，∴AM=AD=6=BN，∴ME==8，∴EN=MN﹣ME=2，易知，△AME∽△ENP，∴，∴PE=PB=，∴PB=；

②如圖4，過E作EQ⊥CD于Q．∵DE=CE，∴DQ=CD=5，∴ME=5，∴EN=MN﹣ME=5，∴AM==5，∴BN=5，同理得：，∴PE=PB=，∴PB=．