Question

（2005•恩施州）如圖，在平面直角坐標系中，半徑分別為3和的⊙O₁和⊙O₂外切于原點O，在x軸上方的兩圓的外公切線AB與⊙O₁和⊙O₂分別切于點A、B，直線AB交y軸于點C．O₂D⊥O₁A于點D．
（1）求∠O₁O₂D的度數；
（2）求點C的坐標；
（3）求經過O₁、C、O₂三點的拋物線的解析式；
（4）在拋物線上是否存在點P，使△PO₁O₂為直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可在直角三角形O₁O₂D中，根據兩圓的半徑來求，連接O₂B可發(fā)現，O₁D實際是兩圓的半徑差，而O₁O₂實際是兩圓的半徑和，可據此求出∠O₁O₂D的正弦值，以此可求出∠O₁O₂D的度數．
（2）根據切線長定理可知OC=AC=BC，即OC=AB，而AB可在直角三角形O₁O₂D中求出，由此可得出所求的解．
（3）已知了三點的坐標，用待定系數法求解即可．
（4）很明顯C點符合P點的條件（連接O₁C，O₂C可得出∠O₁CO+∠O₂CO=∠ACB=90°），那么C點關于拋物線的對稱軸的對稱點也應該符合P點的條件．
解答：解：（1）連接O₂B，

易證四邊形ADO₂B為矩形
在Rt△O₂DO₁中，
O₁D=2，O₁O₂=4
則∠O₁O₂D=30°，O₂D=6；

（2）由（1）得AB=O₂D=6
又∵AB、OC是⊙O₁、⊙O₂的切線
∴OC=AC=BC=3
∴點C的坐標為（0，3）

（3）由圖知：O₁、O₂點的坐標為（-3，0）、（，0）
設過點O₁、O₂、C三點的拋物線的解析式為
y=ax²+bx+c
則有：
解之得：a=b=c=3
故拋物線的解析式為：y=x²+x+3

（4）存在
點C顯然滿足條件．
又根據拋物線的對稱性知，點C關于x=的對稱點也滿足條件
即P點的坐標為（0，3）、（，3）．
點評：本題考查了圓的相關知識以及二次函數的應用等知識點．難度適中．