Question

【題目】在△ABC中，sin A＝sin B＝，AB＝12，M為AC的中點，BM的垂直平分線交AB于點N，交BM于點P，那么BN的長為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

PN垂直平分BM，作CD⊥AB于D，MH⊥AB于H，如圖，由sin∠A=sin∠B得到∠A=∠B，則根據等腰三角形的性質得AD=BD=AB=6，在Rt△ACD中，根據正弦的定義得sin A＝＝，可設CD=4t，AC=5t，根據勾股定理得AD=3t，則3t=6，解得t=2，所以AC=10，AM=5，再在Rt△AMH中，利用sin A＝＝得到MH=4，于是有AH=3，HB=AB-AH=9，由于PN垂直平分BM，根據線段的垂直平分線的性質得NM=NB，設NB=x，則NM=x，HN=9-x，在Rt△MHN中，根據勾股定理有x2=42+（9-x）2，解得x=.

如圖，過點C作CD⊥AB于點D，過點M作MH⊥AB于點H，

∵sin A＝sin B，

∴∠A＝∠B，

∴AD＝BD＝AB＝×12＝6，

在Rt△ACD中，sin A＝＝，

∴AC＝10，

∵M點為AC的中點，

∴AM＝5，

在Rt△AMH中，sin A＝＝，

∴MH＝4，

∴AH＝3，HB＝AB－AH＝9，

∵PN垂直平分BM，

∴NM＝NB，

設NB＝x，則NM＝x，HN＝9－x，

在Rt△MHN中，NM2＝MH2＋HN2，

∴x2＝42＋(9－x)2，解得x＝，即NB的長為．