Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，動正方形DEFG的頂點D，E分別在邊AB，AC上的運動（D不與A，B重合），且邊DE一直保持與邊BC平行．
（1）求△ABC的面積；
（2）當邊FG與邊BC重合時，求正方形DEFG的邊長；
（3）設AD=x，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為y，求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）過點A作AH⊥BC，垂足為H．根據等腰三角形的性質和勾股定理可求的AH，然后利用三角形的面積公式即可求解．
（2）設此時正方形的邊長為a，（如圖2）根據△ADE∽△ABC，利用相似三角形的對應邊成比例即可求得正方形DEFG的邊長；
（3）如圖2，根據△ADE∽△ABC，利用相似三角形的對應邊成比例即可求得AD，這樣自變量x的取值范圍為2個部分，即0＜x≤2和2＜x＜5．然后再分別根據當0＜x≤2時，如圖1，△ADE∽△ABC和，當2＜x＜5時，如圖3，△BDP∽△BAH，求y即可．

解答：解：（1）過點A作AH⊥BC，垂足為H．
∵AB=AC=5，
∴△ABC為等腰三角形，
∴BH=CH=3．
∴AH=4．
∴S_△ABC=

1

2

×BC×AH=12；

（2）設此時正方形的邊長為a，（如圖2）
∵△ADE∽△ABC，
∴

DE

BC

=

AM

AH

，即

a

6

=

4-a

4

．
解得a=

12

5

．
故正方形DEFG的邊長為

12

5

；

（3）如圖2，∵△ADE∽△ABC，
∴

AD

AB

=

DE

BC

，即AD=2．
這樣自變量x的取值范圍為2個部分，即0＜x≤2和2＜x＜5．
當0＜x≤2時，如圖1，△ADE∽△ABC，
∴

AD

AB

=

DE

BC

，即DE=

6

5

x．
∴y=DE²=(

6

5

x)2=

36

25

x²；
當2＜x＜5時，如圖3，△BDP∽△BAH，
∴

BD

BA

=

DP

AH

，即

5-x

5

=

DP

4

．
∴DP=

4

5

（5-x）．
∴y=DE×DP=

6

5

x×

4

5

（5-x）=

24

5

x-

24

25

x²．
故所求函數關系式為y=

36 25 x2(0＜x≤2) 24 5 x- 24 25 x2(2＜x＜5).

點評：此題涉及到的知識點較多，有勾股定理．正方形的性質，相似三角形的判定與性質，綜合性較強，利用學生系統的掌握知識，是一道好題．