Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，E是BC的中點，連結DE．
（1）求證：DE與⊙O相切；
（2）連結OE，若cos∠BAD=

3

5

，BE=

14

3

，求OE的長．

Answer 1

（1）證明：如圖1所示，連接OD，BD
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=∠BDC=90°．
在Rt△BDC中
∵E是BC的中點，∴DE=

1

2

BC；
∴DE=BE；∴∠1=∠2．
∵OD=OB，∴∠3=∠4；
∵∠ABC=∠2+∠4=90°
∴∠ODE=∠1+∠3=90°，
即OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

（2）∵E是BC的中點，O是AB中點，
∴OE∥AC，
∴∠BAD=∠BOE，
∴cos∠BAD=∠BOE=

3

5

，
設OB=3x，則OE=5x，
∴BE=4x，
∵BE=

14

3

，
∴x=

7

6

，
∴OE=5x=

35

6

．