Question

【題目】如圖（1），拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（x1,0）、B（x2,0）兩點（x1<0<x2），與y軸交于點C(0,-3),若拋物線的對稱軸為直線x=1,且tan∠OAC=3.

（1）求拋物線的函數解析式；
（2）若點D是拋物線BC段上的動點，且點D到直線BC距離為 ，求點D的坐標
（3）如圖（2），若直線y=mx+n經過點A,交y軸于點E(0, － ),點P是直線AE下方拋物線上一點，過點P作x軸的垂線交直線AE于點M,點N在線段AM延長線上，且PM=PN,是否存在點P，使△PMN的周長有最大值？若存在，求出點P的坐標及△PMN的周長的最大值；若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

在Rt△AOC中，tan OAC= =3，且OC=3，

∴OA=1，A（-1，0）

∵拋物線的對稱軸為直線x=1

∴由中點坐標公式可求： ，解得x=3

∴B（3，0）

∴可設拋物線的表達式為：y=a（x-3）（x+1）

將C（0，-3）代入上式中，a×（-3）=-3，

解得：a=1

∴拋物線的表達式為：y=（x-3）（x+1）=x2-2x-3

（2）

∵B（3，0）、C（0，-3）

∴

∴

設D（x，x2-2x-3）.連接OD.

∴

=

=

=

=3

解得：x1=1，x2=2

∴D（1，-4）（2，-3）

（3）

由A（-1,0）、E（0，- ）可求：

直線AE的表達式為：y= ，AE=

設p（t，t2-2t-3），則M（t， t ）

∴PM= t -（t2-2t-3）=- t2+

作PG⊥MN于G，

由PM=PN得：MG=NG= MN

由△PMG∽△AEO有： ，即

∴MG= PM=NG

∴C△PMN=PM+PN+MN= PM= （- t2+ ）=- t2+ t+6

∴當t= 時，C△PMN有最大值為 ，此時P

【解析】（1）C點的坐標已知，tan∠OAC，據此求出A點坐標；對稱軸是x=1，據此求出B點坐標。（2）B、C兩點的坐標是已知，根據兩點之間的距離公式求出BC的長度，點D到直線BC的距離為 ，根據 BCD的面積求出D點的坐標。（3）已知A、E兩點的坐標，可以先求出直線AE的表達式。易知P、M的橫坐標相同，分別設出P、M兩點。用PM分別表示出PN，MN，根據二次函數的性質，求出 PMN周長的最大值及此時P點的坐標。
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．