Question

（附加題）如圖，以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的直徑AD交小圓于M，N兩點(diǎn)，大圓的弦AB切小圓于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作直線CE⊥AD，垂足為E，交大圓于F，H兩點(diǎn)．
（1）試判斷線段AC與BC的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）求證：FC•CH=AE•AO；
（3）若FC，CH是方程x²-2

5

x+4=0的兩根（CH＞CF），求圖中陰影部分圖形的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）相等，主要根據(jù)是垂徑定理，從已知條件中可知AB為大圓的弦，且垂直于半徑，所以相等．
（2）利用切線定理，和相交弦定理就可證明．
（3）先解方程求出根，再觀察圖發(fā)現(xiàn)陰影部分圖形的周長(zhǎng)就是一段弧長(zhǎng)加一線段，分別計(jì)算相加．

解答：（1）解：相等．（1分）
連接OC，則CO⊥AB，故AC=BC．

（2）證明：連接FB，AH，C0，
∵∠FBA=∠AHF，∠FCB=∠HCA，
∴△ACH∽△FCB，
∴AC•CB=FC•CH=AC²，
∵∠ACO=∠CEA=90°，∠CAO=∠CAO，
∴△ACE∽△AOC，得AC²=AE•AO．
∴FC•CH=AE•AO．

（3）解：解方程得：CH=

5

+1，CF=

5

-1，
CE=EF-FC=EH-FC=

5

-（

5

-1）=1，AC²=4，AC=2，
在Rt△ACE中，sinA=

CE

AC

=

1

2

，
∴∠A=30°，∴∠AOC=60°，∠CON=120°．
在△ACO中，CO=AC•tanA=2×

3

3

=

2

3

3

，
AO=

AC

sin60°

=

4 3

3

，AM=AO-OM=

4 3

3

-

2 3

3

=

2 3

3

，

CN

長(zhǎng)=

1

3

×2π•

2 3

3

=

4 3

9

π，
AN=AM+2OC=

2 3

3

+2×

2 3

3

=2

3

，
陰影部分周長(zhǎng)=AC+AN+

CN

=2+2

3

+

4 3

9

π．

點(diǎn)評(píng)：[點(diǎn)評(píng)]本題是比較傳統(tǒng)的幾何型綜合壓軸題，涉及圓、相似、三角等幾何重點(diǎn)知識(shí)．