Question

【題目】已知拋物線的頂點為（1，-4），且經過點B（3，0）.

（Ⅰ）求該拋物線的解析式及拋物線與x軸的另一個交點A的坐標；

（Ⅱ）點P(m,t)為拋物線上的一個動點，點P關于原點的對稱點為P′.

①當點P′落在該拋物線上時，求m的值；

②當點P′落在第二象限內，P′A2取得最大值時，求m的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y=x2-2x-3，點A的坐標為（-1,0）；（Ⅱ）①m1=,m2=-. ② m=1.

【解析】試題分析： 由頂點坐標可以設拋物線的解析式為： 把點的坐標代入即可求出拋物線的解析式，進而求得拋物線與軸的交點坐標.

（2）①由對稱可表示出點的坐標，再由和都在拋物線上，可得到關于的方程，可求得的值；

②由點在第二象限，可求得的取值范圍，利用兩點間距離公式可用表示出，再由點在拋物線上，可用消去，整理可得到關于的二次函數，利用二次函數的性質可求得其取得最大值時的值，則可求得的值．

試題解析： 設拋物線的解析式為 代入點,

∴拋物線的解析式為:

∴點的坐標為

（Ⅱ）①由P(m,t)在拋物線上可得t=m22m3，

∵點P′與P關于原點對稱，

∴P′(m,t)，

∵點P′落在拋物線上，

即

解得或

②②由題意可知P′(m,t)在第二象限，

∴m<0，t>0，即m>0，t<0，

∵拋物線的頂點坐標為(1,4)，

∴4t<0，

∵P在拋物線上，

∵A(1,0),P′(m,t)，

當時， 取得最大值.

把代入,得

解得