Question

【題目】如圖，P是⊙O外一點，PA是⊙O的切線，A是切點，B是⊙O上一點，且PA＝PB，延長BO分別與⊙O、切線PA相交于C、Q兩點．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）QD為PB邊上的中線，若AQ＝4，CQ＝2，求QD的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）QD的值是．

【解析】

（1）要證明PB是⊙O的切線，只要證明∠PBO=90°即可，根據題意可以證明△OBP≌△OAP，從而可以解答本題；
（2）根據題意和勾股定理的知識，可以求得QD的值．

（1）證明：連接OA，

在△OBP和△OAP中，

，

∴△OBP≌△OAP（SSS），

∴∠OBP＝∠OAP，

∵PA是⊙O的切線，A是切點，

∴∠OAP＝90°，

∴∠OBP＝90°，

∵OB是半徑，

∴PB是⊙O的切線；

（2）連接OC

∵AQ＝4，CQ＝2，∠OAQ＝90°，

設OA＝r，

則r2+42＝（r+2）2，

解得，r＝3，

則OA＝3，BC＝6，

設BP＝x，則 AP＝x，

∵PB是圓O的切線，

∴∠PBQ＝90°，

∴x2+（6+2）2＝（x+4）2，

解得，x＝6，

∴BP＝6，

∴BD＝3，

∴QD＝ = ，

即QD的值是．