Question

【題目】如圖所示，BD是△ABC的中線，CE⊥BD于點E，AF⊥BD，交BD的延長線于點F.

(1)試探索BE，BF和BD三者之間的數量關系，并加以證明；

(2)連接AE，CF，求證：AE∥CF.

Answer 1

【答案】(1) BE＋BF＝2BD，證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由已知條件易證△AFD≌△CED，由此可得DE=DF，這樣結合BE=BD-DE，BF=BD+DF即可證得BE+BF=2BD；

（2）由（1）中所得△AFD≌△CED可得AD=CD，DE=DF，結合∠ADE=∠CDF即可證得△ADE≌△CDF，由此可得∠EAD=∠FCD，從而可得AE∥CF.

(1)BE＋BF＝2BD，理由如下：

∵BD為△ABC的中線，

∴AD＝CD.

∵CE⊥BD于E，AF⊥BD于F，

∴∠F＝∠CED＝90°.

在△AFD和△CED中，，

∴△AFD≌△CED，

∴DE＝DF.

∵BE＋BF＝(BD－DE)＋(BD＋DF)，

∴BE＋BF＝2BD；

(2)∵△AFD≌△CED，

∴AD＝CD，FD＝ED，

又∵∠ADE＝∠CDF.

∴△ADE≌△CDF，

∴∠EAD＝∠FCD，

∴AE∥CF.