Question

拋物線交軸于、兩點，交軸于點，頂點為.

【小題1】（1）寫出拋物線的對稱軸及、兩點的坐標（用含的代數式表示）
【小題2】（2）連接并以為直徑作⊙，當時，請判斷⊙是否經過點，并說明理由；
【小題3】（3）在（2）題的條件下，點是拋物線上任意一點，過作直線垂直于對稱軸，垂足為. 那么是否存在這樣的點，使△與以、、為頂點的三角形相似？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【小題1】（1）過點C作CH⊥軸，垂足為H
∵在Rt△OAB中，∠OAB＝90⁰，∠BOA＝30⁰，AB＝2   ∴OB＝4，OA＝
由折疊知，∠COB＝30⁰，OC＝OA＝
∴∠COH＝60⁰，OH＝，CH＝3   ∴C點坐標為（，3）
【小題2】（2）∵拋物線（≠0）經過C（，3）、A（，0）兩點
∴     解得：
∴此拋物線的解析式為：
【小題3】（3）存在. 因為的頂點坐標為（，3）即為點C，MP⊥軸，設垂足為N，PN＝，因為∠BOA＝30⁰，所以ON＝ ， ∴P（，）
作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E
把代入得：
∴ M（，），E（，）
同理：Q（，），D（，1）
要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE＝QD
即，解得：，（舍）
∴ P點坐標為（，）
∴ 存在滿足條件的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時P點的坐為（，）     （12分）

解析