Question

【題目】暑假期間，某學校計劃用彩色的地面磚鋪設教學樓門前一塊矩形操場ABCD的地面．已知這個矩形操場地面的長為100m，寬為80m，圖案設計如圖所示：操場的四角為小正方形，陰影部分為四個矩形，四個矩形的寬都為小正方形的邊長，在實際鋪設的過程總，陰影部分鋪紅色地面磚，其余部分鋪灰色地面磚．

（1）如果操場上鋪灰色地面磚的面積是鋪紅色地面磚面積的4倍，那么操場四角的每個小正方形邊長是多少米？

（2）如果灰色地面磚的價格為每平方米30元，紅色地面磚的價格為每平方米20元，學校現有15萬元資金，問這些資金是否能購買所需的全部地面磚？如果能購買所學的全部地面磚，則剩余資金是多少元？如果不能購買所需的全部地面磚，教育局還應該至少給學校解決多少資金？

Answer 1

【答案】（1）操場四角的每個小正方形邊長是5米；

（2）這些資金不能購買所需的全部地面磚，教育局還應該至少給學校解決19.95﹣15=4.95萬元資金．

【解析】

試題分析：（1）設小正方形的邊長為x米，表示出里邊大矩形的長為（100﹣2x）米，寬為（80﹣2x）米，利用灰色部分的面積=4個小正方形的面積+里邊大矩形的面積，紅色部分面積=上下兩個矩形面積+左右兩個矩形面積，根據灰色地面磚的面積是鋪紅色地面磚面積的4倍列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為小正方形的邊長；

（2）設鋪矩形廣場地面的總費用為y元，廣場四角的小正方形的邊長為x米，根據等量關系“總費用=鋪白色地面磚的費用+鋪綠色地面磚的費用”列出y關于x的函數，求得最小值，與15萬元比較可得是否夠用．

試題解析：（1）設操場四角的每個小正方形邊長是x米，根據題意，

得：4x2+（100﹣2x）（80﹣2x）=4[2x（100﹣2x）+2x（80﹣2x）]，

整理，得：x2﹣45x+200=0，

解得：x1=5，x2=40（舍去），

故操場四角的每個小正方形邊長是5米；

（2）設鋪矩形廣場地面的總費用為y元，廣場四角的小正方形的邊長為x米，

則，y=30×[4x2+（100﹣2x）（80﹣2x）]+20×[2x（100﹣2x）+2x（80﹣2x）]

即：y=80x2﹣3600x+240000

配方得，y=80（x﹣22.5）2+199500

當x=22.5時，y的值最小，最小值為19.95萬元＞15萬元，

故這些資金不能購買所需的全部地面磚，教育局還應該至少給學校解決19.95﹣15=4.95萬元資金．