Question

【題目】如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上的一個動點（不與點A，B重合），連接CD，將CD繞點C順時針旋轉90°得到CE，連接DE，DE與AC相交于點F，連接AE．下列結論：①△ACE≌△BCD；②若∠BCD=25°，則∠AED=65°；③DE2=2CFCA；④若AB=3，AD=2BD，則AF=．其中正確的結論是______．（填寫所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

先判斷出∠BCD=∠ACE，即可判斷出①正確；

先求出∠BDC=110°，進而得出∠AEC=110°，即可判斷出②正確；

先判斷出∠CAE=∠CEF，進而得出△CEF∽△CAE，即可得出CE2=CFAC，最后用勾股定理即可得出③正確；

先求出BC=AC=3，再求出BD=，進而求出CE=CD=，求出CF=，即可判斷出④錯誤．

∵∠ACB=90°，

由旋轉知，CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，

∴∠BCD=∠ACE，

在△BCD和△ACE中，

，

∴△BCD≌△ACE，故①正確；

∵∠ACB=90°，BC=AC，

∴∠B=45°

∵∠BCD=25°，

∴∠BDC=180°-45°-25°=110°，

∵△BCD≌△ACE，

∴∠AEC=∠BDC=110°，

∵∠DCE=90°，CD=CE，

∴∠CED=45°，

則∠AED=∠AEC-∠CED=65°，故②正確；

∵△BCD≌△ACE，

∴∠CAE=∠CBD=45°=∠CEF，

∵∠ECF=∠ACE，

∴△CEF∽△CAE，

∴ ，

∴CE2=CFAC，

在等腰直角三角形CDE中，DE2=2CE2=2CFAC，故③正確；

如圖，過點D作DG⊥BC于G，

∵AB=3，

∴AC=BC=3，

∵AD=2BD，

∴BD=AB=，

∴DG=BG=1，

∴CG=BC-BG=3-1=2，

在Rt△CDG中，根據勾股定理得，CD=，

∵△BCD≌△ACE，

∴CE=，

∵CE2=CFAC，

∴CF=，

∴AF=AC-CF=3-=，故④錯誤，

故答案為：①②③．