Question

【題目】已知函數y=mx2+（2m+1）x+2（m為實數）．
（1）請探究該函數圖象與x軸的公共點個數的情況（要求說明理由）；
（2）在圖中給出的平面直角坐標系中分別畫出m=﹣1和m=1的函數圖象，并根據圖象直接寫出它們的交點坐標；
（3）探究：對任意實數m，函數的圖象是否一定過（2）中的點，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：當m=0時，y=x+2，此直線與x軸交于（﹣2，0）；

當m≠0時，△=（2m+1）2﹣8m=（2m﹣1）2≥0，

∴此拋物線在m= 時，與x軸只有一個公共點；在m≠ 時，與x軸有2個交點

（2）解：當m=﹣1時，拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+2，

當m=1時，拋物線解析式為y=x2+3x+2，

函數圖象如下：

由函數圖象知，兩拋物線的交點為（﹣2，0）和（0，2）

（3）解：對任意實數m，函數的圖象一定過（﹣2，0）和（0，2），理由如下：

在函數y=mx2+（2m+1）x+2中，

無論m為何值，當x=0時，y的值均為2，即橫過點（0，2），

∵y=mx2+（2m+1）x+2=（x+2）（mx+1），

∴當x=﹣2時，y的值均為0，即函數圖象橫過（﹣2，0），

故無論m為何值，函數的圖象（﹣2，0）和（0，2）兩點

【解析】（1）分m=0和m≠0兩種情況討論；（2）m=﹣1時y=﹣x2﹣x+2、m=1時y=x2+3x+2，畫出函數圖象，根據函數圖象得出交點；（3）在y=mx2+（2m+1）x+2=（x+2）（mx+1）中，可知無論m為何值，x=0時y=2、x=﹣2時y=0，即可得．
【考點精析】利用拋物線與坐標軸的交點對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．