Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+4分別交x軸，y軸于A，B兩點，點C為OB的中點，點D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形．

（1）直接寫出點A，B的坐標，并求直線AB與CD交點E的坐標；

（2）動點P從點C出發，沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動；同時，動點N從點A出發，沿線段AO以每秒1個單位長度的速度向終點O運動，過點P作PH⊥OA，垂足為H，連接NP．設點P的運動時間為t秒．

①若△NPH的面積為1，求t的值；

②點Q是點B關于點A的對稱點，問BP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相應的點P的坐標；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）E（﹣1.5，2）；（2）①t=1或2；②有最小值，（﹣2，2）．理由見解析

【解析】

試題分析：（1）分別令x與y等于0，即可求出點A與點B的坐標，由四邊形AOCD為矩形，可知：CD∥x軸，進而可知：D、C、E三點的縱坐標相同，由點C為OB的中點，可求點C的坐標，然后將點C的縱坐標代入直線y=x+4即可求直線AB與CD交點E的坐標；

（2）①分兩種情況討論，第一種情況：當0＜t＜2時；第二種情況：當2＜t≤6時；

②由點Q是點B關于點A的對稱點，先求出點Q的坐標，然后連接PB，CH，可得四邊形PHCB是平行四邊形，進而可得：PB=CH，進而可將BP+PH+HQ轉化為CH+HQ+2，然后根據兩點之間線段最短可知：當點C，H，Q在同一直線上時，CH+HQ的值最小，然后求出直線CQ的關系式，進而可求出直線CQ與x軸的交點H的坐標，從而即可求出點P的坐標

解：（1）∵直線y=x+4分別交x軸，y軸于A，B兩點，

∴令x=0得：y=4，

令y=0得：x=﹣3，

∴A（﹣3，0），B（0，4），

∴OA=3，OB=4，

∵點C為OB的中點，

∴OC=2，

∴C（0，2），

∵四邊形AOCD為矩形，

∴OA=CD=3，OC=AD=2，CD∥OA（x軸），

∴D、C、E三點的縱坐標相同，

∴點E的縱坐標為2，將y=2代入直線y=x+4得：x=﹣1.5，

∴E（﹣1.5，2）；

（2）①分兩種情況討論：

第一種情況當0＜t＜1時，如圖1，

根據題意可知：經過t秒，CP=t，AN=t，HO=CP=t，PH=OC=2，

∴NH=2t﹣3，

∵S△NPH=PHNH，且△NPH的面積為1，

∴×2×（2t﹣3）=1，

解得：t=2；

第二種情況：當1＜t≤3時，如圖2，

根據題意可知：經過t秒，CP=t，AN=t，HO=CP=t，PH=OC=2，

∴AH=3﹣t，

∴HN=AN﹣AH=1.5t﹣2，

∵S△NPH=PHNH，且△NPH的面積為1，

∴×2×（1.5t﹣2）=1，

解得：t=2；

∴當t=1或2時，存在△NPH的面積為1；

②BP+PH+HQ有最小值，

連接PB，CH，HQ，則四邊形PHCB是平行四邊形，如圖3，

∵四邊形PHCB是平行四邊形，

∴PB=CH，

∴BP+PH+HQ=CH+HQ+2，

∵BP+PH+HQ有最小值，即CH+HQ+2有最小值，

∴只需CH+HQ最小即可，

∵兩點之間線段最短，

∴當點C，H，Q在同一直線上時，CH+HQ的值最小，

過點Q作QM⊥y軸，垂足為M，

∵點Q是點B關于點A的對稱點，

∴OA是△BQM的中位線，

∴QM=2OA=6，OM=OB=4，

∴Q（﹣6，﹣4），

設直線CQ的關系式為：y=kx+b，

將C（0，2）和Q（﹣6，﹣4）分別代入上式得：

，

解得：，

∴直線CQ的關系式為：y=x+2，

令y=0得：x=﹣2，

∴H（﹣2，0），

∵PH∥y軸，

∴P（﹣2，2）．