Question

閱讀下列材料：
一般地，n個相同的因數a相乘記為aⁿ，記為aⁿ．如2×2×2=2³=8，此時，3叫做以2為底8的對數，記為log₂8（即log₂8=3）．一般地，若aⁿ=b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對數，記為log_ab（即log_ab=n）．如3⁴=81，則4叫做以3為底81的對數，記為log₃81（即log₃81=4）．
（1）計算以下各對數的值：
log₂4=　 　，log₂16=　 　，log₂64=　 　．
（2）觀察（1）中三數4、16、64之間滿足怎樣的關系式，log₂4、log₂16、log₂64之間又滿足怎樣的關系式；
（3）由（2）的結果，你能歸納出一個一般性的結論嗎？
log_aM+log_aN=　    　；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
（4）根據冪的運算法則：aⁿ•a^m=a^n+m以及對數的含義證明上述結論．

Answer 1

（1）2   4   6
（2）log₂4+log₂16=log₂64
（3）log_a（MN）
（4）首先可設log_aM=b₁，log_aN=b₂，再根據冪的運算法則：aⁿ•a^m=a^n+m以及對數的含義證明結論．

試題分析：首先認真閱讀題目，準確理解對數的定義，把握好對數與指數的關系．
（1）根據對數的定義求解；
（2）認真觀察，不難找到規律：4×16=64，log₂4+log₂16=log₂64；
（3）有特殊到一般，得出結論：log_aM+log_aN=log_a（MN）；
（4）首先可設log_aM=b₁，log_aN=b₂，再根據冪的運算法則：aⁿ•a^m=a^n+m以及對數的含義證明結論．
解：（1）log₂4=2，log₂16=4，log₂64=6；
（2）4×16=64，log₂4+log₂16=log₂64；
（3）log_aM+log_aN=log_a（MN）；
（4）證明：設log_aM=b₁，log_aN=b₂，
則=M，=N，
∴MN=，
∴b₁+b₂=log_a（MN）即log_aM+log_aN=log_a（MN）．
點評：本題是開放性的題目，難度較大．借考查對數，實際考查學生對指數的理解、掌握的程度；要求學生不但能靈活、準確的應用其運算法則，還要會類比、歸納，推測出對數應有的性質．