Question

如圖，Rt△ABE中，AB⊥AE以AB為直徑作⊙O，交BE于C，弦CD⊥AB，F為AE上一點，連FC，則FC=FE
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）已知點P為⊙O上一點，且tan∠APD=，連CP，求sin∠CPD的值．

Answer 1

（1）證明：連接OC，
∵AB是直徑，
∴∠BAE=90°，
∴∠B+∠E=90°，
又∵OB=OC，CF=EF，
∴∠BCO=∠CBO，∠E=∠ECF，
∴∠BCO+∠ECF=90°，
∴∠FCO=90°，
∴CF是⊙O切線；

（2）解：∵CD⊥AB，
∴=，
∴∠B=∠APD，∠COM=∠CPD，
∴tan∠APD=tan∠B==，
設CM=t，BM=2t，OB=OC=R，OM=2t-R，
∴R²=t²+（2t-R）²，
∴R=，
∴sin∠CPD=sin∠COM==．
分析：（1）連接OC，由于AB是直徑，那么∠BAE=90°，則∠B+∠E=90°，而OB=OC，CF=EF，可知∠BCO=∠CBO，∠E=∠ECF，易證∠BCO+∠ECF=90°，于是∠FCO=90°，于是CF是⊙O切線；
（2）由于AB⊥CD，利用垂徑定理有弧AC=弧AD，那么∠B=∠APD，∠COM=∠CPD，從而有tan∠APD=tan∠B==，再CM=t，BM=2t，OB=OC=R，OM=2t-R，根據勾股定理有R²=t²+（2t-R）²，可得R=t，進而可求sin∠CPD．
點評：本題考查了切線的判定和性質、垂徑定理、勾股定理、三角函數的計算、圓周角定理．解題的關鍵是連接OC，證明∠BCO+∠ECF=90°，并求出R=．