Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（3，0），現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A，B分別向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，分別得到點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)C，D，連接AC，BD，CD．

（1）求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；
（2）若在y軸上存在點(diǎn) M，連接MA，MB，使S△MAB=S平行四邊形ABDC ， 求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）若點(diǎn)P在直線BD上運(yùn)動，連接PC，PO．
①若P在線段BD之間時(shí)（不與B，D重合），求S△CDP+S△BOP的取值范圍；
②若P在直線BD上運(yùn)動，請直接寫出∠CPO、∠DCP、∠BOP的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】
（1）解：由平移可知：C（0，2），D（4，2）
（2）解：∵AB=4，CO=2，

∴S平行四邊形ABOC=ABCO=4×2=8，

設(shè)M坐標(biāo)為（0，m），

∴ ×4×|m|=8，解得m=±4

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）或（0，﹣4）

（3）解：①S梯形OCDB= ×（3+4）×2=7，

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)B時(shí)，S△BOC最小，S△BOC的最小值= ×3×2=3，S△CDP+S△BOP＜4，

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)D時(shí)，S△BOC最大，S△BOC的最大值= ×4×2=4，S△CDP+S△BOP＞3，

所以3＜S△CDP+S△BOP＜4；

②當(dāng)點(diǎn)P在BD上，如圖1，作PE∥CD，

∵CD∥AB，

∴CD∥PE∥AB，

∴∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，

∴∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO；

當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長線上時(shí)，如圖2，作PE∥CD，

∵CD∥AB，

∴CD∥PE∥AB，

∴∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，

∴∠EPO﹣∠EPC=∠BOP﹣∠DCP，

∴∠BOP﹣∠DCP=∠CPO；

同理可得當(dāng)點(diǎn)P在線段DB的延長線上時(shí)，∠DCP﹣∠BOP=∠CPO

【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)的平移規(guī)律易得點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；（2）先計(jì)算出S平行四邊形ABOC=8，設(shè)M坐標(biāo)為（0，m），根據(jù)三角形面積公式得 ×4×|m|=8，解得m=±4，于是可得M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）或（0，﹣4）；（3）①先計(jì)算出S梯形OCDB=7，再討論：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)B時(shí)，S△BOC的最小值=3，則可判斷S△CDP+S△BOP＜4，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)D時(shí)，S△BOC的最大值=4，于是可判斷S△CDP+S△BOP＞3，所以3＜S△CDP+S△BOP＜4；②分類討論：當(dāng)點(diǎn)P在BD上，如圖1，作PE∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得CD∥PE∥AB，則∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，易得∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO；當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長線上時(shí)，如圖2，同樣有∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，由于∠EPO﹣∠EPC=∠BOP﹣∠DCP，于是∠BOP﹣∠DCP=∠CPO；同理可得當(dāng)點(diǎn)P在線段DB的延長線上時(shí)，∠DCP﹣∠BOP=∠CPO．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的三角形的面積，需要了解三角形的面積=1/2×底×高才能得出正確答案．