Question

23、已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD，垂足為點E，點F在BD上，連接AF、EF．
（1）求證：AD=ED；
（2）如果AF∥CD，求證：四邊形ADEF是菱形．

Answer 1

分析：（1）先根據平行的性質得到∠ADB=∠CDB，然后結合BC=CD利用ASA可證得△ABD≌△EBD，繼而可得出結論；
（2）根據有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得出結論．

解答：證明：（1）∵BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADB=∠CDB，
又∵AB⊥AD，BE⊥CD，
∴∠BAD=∠BED=90°，
于是，在△ABD和△EBD中，
∵∠ADB=∠CDB，∠BAD=∠BED，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD，
∴AD=ED．
（2）∵AF∥CD，∴∠AFD=∠EDF，
∴∠AFD=∠ADF，即得AF=AD，
又∵AD=ED，
∴AF=DE，于是，由AF∥DE，AF=DE得四邊形ADEF是平行四邊形，
又∵AD=ED，
∴四邊形ADEF是菱形．

點評：本題考查直角梯形的知識，解答此題的關鍵是根據平行和直角三角形的性質找出圖中的相似三角形，利用相似三角形的性質解答此題．