Question

【題目】如果方程x2+px+q=0的兩個根是x1 ， x2 ， 那么x1+x2=﹣p，x1x2=q，請根據以上結論，解決下列問題：
（1）已知關于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一個一元二次方程，使它的兩個根分別是已知方程兩根的倒數；
（2）已知a、b滿足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求 的值；
（3）已知a、b、c滿足a+b+c=0，abc=16，求正數c的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設方程x2+mx+n=0，（n≠0）的兩個根分別是x1，x2，

則： + = =﹣ ，

= = ，

若一個一元二次方程的兩個根分別是已知方程兩根的倒數，

則這個一元二次方程是：x2+ x+ =0

（2）解：∵a、b滿足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，

∴a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，

當a≠b時，a+b=15，ab=﹣5，

= = = =﹣47．

當a=b時，原式=2

（3）解：∵a+b+c=0，abc=16，

∴a+b=﹣c，ab= ，

∴a、b是方程x2+cx+ =0的解，

∴c2﹣4 ≥0，

c2﹣ ≥0，

∵c是正數，

∴c3﹣43≥0，

c3≥43，

c≥4，

∴正數c的最小值是4

【解析】（1）先設方程x2+mx+n=0，（n≠0）的兩個根分別是x1 ， x2 ， 得出 + =﹣ ， = ，再根據這個一元二次方程的兩個根分別是已知方程兩根的倒數，即可求出答案．（2）根據a、b滿足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，得出a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出 的值．（3）根據a+b+c=0，abc=16，得出a+b=﹣c，ab= ，a、b是方程x2+cx+ =0的解，再根據c2﹣4 ≥0，即可求出c的最小值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解求根公式的相關知識，掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根，以及對根與系數的關系的理解，了解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商．