Question

16、已知：如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點，且AD=DC+CB．過D作AC的垂線交△ABC的外接圓于M，過M作AB的垂線MN，交圓于N．求證：MN為△ABC外接圓的直徑．

Answer 1

分析：延長AC至E，使CE=BC，連接MA、MB、ME、BE，則AD=DE，而MD⊥AE，根據中垂線的的性質得到MA=ME，利用等腰三角形的性質得∠MAE=∠MEA；然后由圓周角定理得到∠MAE=∠MBC，則∠MEC=∠MBC，易證得∠MEA+∠CEB=∠MBC+∠CBE，即∠MEB=∠MBE，則ME=MB，得到MA=MB，即有MN垂直平分AB，根據弦的垂直平分線必過圓心判斷MN為△ABC外接圓的直徑．

解答：證明：延長AC至E，使CE=BC，連接MA、MB、ME、BE，如圖，
∵AD=DC+BC，
∴AD=DC+CE=DE，
∵MD⊥AE，
∴MA=ME，∠MAE=∠MEA，
又∵∠MAE=∠MBC，
∴∠MEC=∠MBC，
又∵CE=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
∴∠MEA+∠CEB=∠MBC+∠CBE，
即∠MEB=∠MBE，
∴ME=MB，
又∵ME=MA，
∴MA=MB，
又∵MN⊥AB，
∴MN垂直平分AB，
∴MN是圓的直徑．

點評：本題考查了垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心．也考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質．