Question

【題目】21．（2013年四川攀枝花8分）某文具店準備購進甲，乙兩種鉛筆，若購進甲種鋼筆100支，乙種鉛筆50支，需要1000元，若購進甲種鋼筆50支，乙種鋼筆30支，需要550元．

（1）求購進甲，乙兩種鋼筆每支各需多少元；

（2）若該文具店準備拿出1000元全部用來購進這兩種鋼筆，考慮顧客需求，要求購進甲中鋼筆的數量不少于乙種鋼筆數量的6倍，且不超過乙種鋼筆數量的8倍，那么該文具店共有幾種進貨方案；

（3）若該文具店銷售每支甲種鋼筆可獲利潤2元，銷售每支乙種鋼筆可獲利潤3元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大；最大利潤是多少元．

Answer 1

【答案】（1）甲，乙兩種鋼筆每支各需5元和10元；（2）六種；（3）乙鋼筆20支，甲鋼筆160支時獲利最大，最大利潤為380元．

【解析】

（1）先設購進甲，乙兩種鋼筆每支各需a元和b元，根據購進甲種鋼筆100支，乙種鉛筆50支，需要1000元，若購進甲種鋼筆50支，乙種鋼筆30支，需要550元列出方程組，求出a，b的值即可．

（2）先設購進甲鋼筆x支，乙鋼筆y支，根據題意列出5x+10y=1000和不等式組6y≤x≤8y，把方程代入不等式組即可得出20≤y≤25，求出y的值即可．

（3）先設利潤為W元，得出W=2x+3y=400﹣y，根據一次函數的性質求出最大值．

解：（1）設購進甲，乙兩種鋼筆每支各需a元和b元，根據題意得：

，解得：．，

答：購進甲，乙兩種鋼筆每支各需5元和10元．

（2）設購進甲鋼筆x支，乙鋼筆y支，根據題意可得：

，解得：20≤y≤25．

∵x，y為整數，∴y=20，21，22，23，24，25共六種方案．

∵5x=1000﹣10y＞0，∴0＜y＜100．

∴該文具店共有6種進貨方案．

（3）設利潤為W元，則W=2x+3y，

∵5x+10y=1000，∴x=200﹣2y，代入上式得：W=400﹣y．

∵W隨著y的增大而減小，

∴當y=20時，W有最大值，最大值為W=400﹣20=380（元）．

即當乙鋼筆20支，甲鋼筆160支時獲利最大，最大利潤為380元．