Question

在平面直角坐標系xoy中，等腰三角形ABC的三個頂點A(0，1)，點B在x軸的正半軸上，∠ABO=30°，點C在y軸上．

（1）直接寫出點C的坐標為 ；

（2）點P關于直線AB的對稱點P′在x軸上，AP=1，在圖中標出點P的位置并說明理由；

（3）在（2）的條件下，在y軸上找到一點M，使PM+BM的值最小，則這個最小值為 ．

 

Answer 1

(1) （0，3）或（0，-1）；（2）理由見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）先確定A的位置，再作出△AOB，就可以求出AB=2，OB=，在y軸上符合條件的有兩點C1和C2，求出即可；

（2）根據AP=AO=1，得出P的對稱點是O點，求出OC，即可得出OP，解直角三角形求出PQ和OQ即可；

（3）作出B關于y軸的對稱點，連接PB′即可得出M點的位置，求出PB′長即可．

試題解析: （1）符合條件的有兩點，以A為圓心，以AB為半徑畫弧，交y軸于C1、C2點，

∵A（0，1），

∴OA=1，

∵在Rt△AOB中，OA=1，∠ABO=30°，

∴AB=2OA=2，OB=，

即AC1=AC2=2，

∴OC1=1+2=3，OC2=2-1=2，

∴C的坐標是（0，3）或（0，-1），

（2）P的坐標是（， ），

理由是：過P作PQ⊥x軸于Q，

∵OA=1，AP=1，AO⊥x軸，

∴x軸和以A為圓心，以1為半徑的圓相切，

∵AP=1，

∴P在圓上，

∵點P關于直線AB的對稱點P′在x軸上，AP=1，

∴P′點和O重合，如圖：

∵P和P′關于直線AB對稱，

∴PP′⊥AB，PC=P′C，

由三角形面積公式得：S△AOB=AO×OB=AB×CO，

∴×1=2OC，

∴OC=，

∴PP′=2OC=，

∵∠ABO=30°，∠OCB=90°，

∴∠POB=60°，

∴PQ=OP×sin60°= ，OQ=OP×cos60°=，

即P的坐標是（，）；

（3）作B關于y軸的對稱點B′，連接PB′交y軸于M，則M為所求，

∵OB=，

∴OB′=，

即BB′=2，

∵PQ=，

∴由勾股定理得：PB′=，

∴PM+BM=PM+B′M=PB′=．

考點: 1.軸對稱-最短路線問題；2.坐標與圖形性質；3.等腰三角形的性質.