Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點D，點O在AB上，以點O為圓心，OA為半徑的圓恰好經過點D，分別交AC、AB于點E、F．

（1）試判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若BD=，BF=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）線BC與⊙O的位置關系是相切，理由見解析；（2）2.

【解析】

（1）連接OD，證明OD∥AC，即可證得∠ODB=90°，從而證得BC是圓的切線；

（2）在直角三角形OBD中，設OF=OD=R，利用勾股定理列出關于R的方程，求出方程的解得到R的值，即為圓的半徑.

解：（1）線BC與⊙O的位置關系是相切，

理由是：連接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AD平分∠CAB，

∴∠OAD=∠CAD，

∴∠ODA=∠CAD，

∴OD∥AC，

∵∠C=90°，

∴∠ODB=90°，即OD⊥BC，

∵OD為半徑，

∴線BC與⊙O的位置關系是相切；

（2）設⊙O的半徑為R，

則OD=OF=R，

在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2=BD2+OD2，

即（R+2）2=（）2+R2，

解得：R=2，

即⊙O的半徑是2．