Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D在BC的延長線上，且BD=AB，過點B作BE⊥AC，與BD的垂線DE交于點E．

（1）求證：△ABC≌△BDE；
（2）△BDE可由△ABC旋轉得到，利用尺規作出旋轉中心O（保留作圖痕跡，不寫作法）．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在Rt△ABC中，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠DBE=90°，

∵BE⊥AC，

∴∠ABE+∠A=90°，

∴∠A=∠DBE，

∵DE是BD的垂線，

∴∠D=90°，

在△ABC和△BDE中，

∵ ，

∴△ABC≌△BDE（ASA）

（2）解：如圖①，點O就是所求的旋轉中心．

作法二：如圖②，點O就是所求的旋轉中心．

【解析】（1）要證△ABC≌△BDE，由已知可知有一組直角相等和一組對應邊相等，還需證明一組對應角相等。根據同角的余角相等，即可得證。
（2）方法一、作AB、BD的垂直平分線，兩垂直平分線的交點就是旋轉中心；方法二、以AB、BD為鄰邊作正方形，正方形對角線的交點就是所求作的旋轉中心。