Question

已知連續2008個正整數的和是一個完全平方數，則其中最大的數的最小值是

2133

．

Answer 1

分析：設連續2008個正整數中最小的數是m，則m+（m+1）+…+（m+2007）=（2m+2007）×2008÷2=2008m+2007×1004，根據這2008個正整數的和是一個完全平方數，則存在正整數n，使2008m+2007×1004=n²，由上式左邊能被1004整除，故n²也必能被1004整除，1004=2×2×251，故n也必能被251×2=502整除，設n=502k，k為正整數．從而得出連續2008個正整數為126，127，128，…，2133．

解答：解：設連續2008個正整數中最小的數是m，則
m+（m+1）+…+（m+2007）=（2m+2007）×2008÷2=2008m+2007×1004
如果這2008個正整數的和是一個完全平方數，則存在正整數n有2008m+2007×1004=n²
由于上式左邊能被1004整除，故n²也必能被1004整除，1004=2×2×251，
故n也必能被251×2=502整除，設n=502k，k為正整數，代入2008m+2007×1004=n²得
2m+2007=251k²，
故2m+2007能被素數251整除，即2m-1能被251整除，取最小的m，使2m-1能被251整除，
取2m-1=251，m=126，代入2m+2007=251k²，
解得k=3，n=1506，此時連續2008個正整數為126，127，128，…，2133．
滿足條件的2008個正整數中最大的數的最小值是2133．

點評：本題考查了完全平方數的應用，是重點內容，要熟練掌握．