Question

如圖所示，已知正方形ABCD邊長為4，點(diǎn)M、N分別在邊BC、CD上（點(diǎn)M、N都不與點(diǎn)B、C、D重合），且AM⊥MN．
（1）求證：Rt△ABM∽R(shí)t△MCN；
（2）求證：△AMN不可能是等腰直角三角形；
（3）探究：當(dāng)BM取何值時(shí)，以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABM相似？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠B=∠C=90°，∠AMB+∠BAM=90°，又∠AMN=90°，則∠AMB+∠NMC=90°，得到∠BAM=∠NMC，根據(jù)相似三角形的判定即可得到結(jié)論；
（2）若△AMN是等腰直角三角形時(shí)，相似Rt△ABM與Rt△MCN的對應(yīng)邊不成比例；
（3）①已知了這兩個(gè)三角形中相等的對應(yīng)角是∠ABM和∠AMN，如果要想使Rt△ABM∽R(shí)t△AMN，那么兩組直角邊就應(yīng)該對應(yīng)成比例，即AM：MN=AB：BM，根據(jù)（1）的相似三角形可得出
AM：MN=AB：MC，因此BM=MC，M是BC的中點(diǎn)．即BM=2．
②同理，當(dāng)

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B=∠C=90°，
又∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠NMC=90°，
而∠AMB+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠NMC，
∴Rt△ABM∽R(shí)t△MCN；

（2）證明：若△AMN是等腰直角三角形時(shí)，AM=MN．
∵由（1）知，Rt△ABM∽R(shí)t△MCN，
∴

AM

MN

=

AB

MC

=1，
∴AB=MC，
∴點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，點(diǎn)N與點(diǎn)C重合，這與已知條件“點(diǎn)M、N都不與點(diǎn)B、C、D重合”相矛盾，
∴△AMN不可能是等腰直角三角形；

（3）解：∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使Rt△ABM∽R(shí)t△AMN，必須有

AB

AM

=

BM

MN

，即

AB

BM

=

AM

MN

，
∵Rt△ABM∽R(shí)t△MCN，
∴

AM

MN

=

AB

MC

，
∴BM=MC，
∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，Rt△ABM∽R(shí)t△AMN，此時(shí)BM=2．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組內(nèi)角分別對應(yīng)相等的兩三角形相似；相似三角形對應(yīng)邊的比相等．