Question

已知關于x的方程（k-2）x²+（1-2k）x+k=0．
（1）若方程有兩個實數根，求k的取值范圍；
（2）如果改為方程有實數根，k的取值范圍有變化嗎？若有變化，求出此時k的取值范圍；若沒有變化，請說明理由；
（3）方程有實數根，且k為不大于0的整數，求出此時方程的根．

Answer 1

分析：根據根的判別式來列不等式，解不等式求k的取值范圍．
（1）因為方程有兩個實數根，所以△≥0，且k-2≠0；
（2）因為方程有實數根，不知道方程時一元二次方程還是一元一次方程，所以需要分兩種情況考慮；
（3）因為方程有實數根，且k為不大于0的整數，所以△≥0，k≤0，且為整數．

解答：解：（1）由題意

k-2≠0 △=(1-2k)2-4k(k-2)≥0

∴k的取值范圍是k≥-

1

4

且k≠2．

（2）有變化．
當k≠2時，k≥-

1

4

；當k=2時，一元一次方程-3x+2=0有實根，
∴k≥-

1

4

．

（3）若方程有實根，則k≥-

1

4

．
又∵k≤0且k為整數，∴k=0，
當k=0時，-2x²+x=0，
∴x₁=0，x₂=

1

2

．

點評：本題考查了一元二次方程根的判別式的應用．切記當方程為一元二次方程時不要忽略一元二次方程二次項系數不為零這一隱含條件．當題中沒有明確方程是一元幾次方程時，要分情況考慮．思路要嚴謹不要漏掉各種情況．
總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．