Question

【題目】如圖，過點(diǎn)A（5，）的拋物線y＝ax2+bx的對稱軸是x＝2，點(diǎn)B是拋物線與x軸的一個交點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求a、b的值；

（2）當(dāng)△BCD是直角三角形時(shí)，求△OBC的面積；

（3）設(shè)點(diǎn)P在直線OA下方且在拋物線y＝ax2+bx上，點(diǎn)M、N在拋物線的對稱軸上（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方），且MN＝2，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線OA于點(diǎn)Q，當(dāng)PQ最大時(shí)，請直接寫出四邊形BQMN的周長最小時(shí)點(diǎn)Q、M、N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)△BDC為直角三角形時(shí)，△OBC的面積是或；（3）點(diǎn)Q、M、N的坐標(biāo)分別為，，．

【解析】

（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用對稱軸方程，聯(lián)立方程組，解方程組求得a、b的值;

（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，m）．由于沒有指明直角△BCD中的直角，所以需要分類討論：當(dāng)∠CBD=90°、∠CDB=90°、∠BCD=90°時(shí)，利用勾股定理列出關(guān)于m的方程，通過解方程求得m的值；然后利用三角形的面積公式解答；

（3）利用待定系數(shù)法確定直線OA解析式為．由拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和兩點(diǎn)間的距離公式求得：PQ＝x(x23x)＝x2+x＝(x)2+，所以利用二次函數(shù)最值的求得推知：當(dāng)PQ最大時(shí)，線段BQ為定長．又因?yàn)?/span>MN=2，所以要使四邊形BQMN的周長最小，只需QM+BN最小．利用軸對稱-最短路徑問題得到點(diǎn)Q．最后利用方程思想解答．

解：（1）∵過點(diǎn)A(5， )的拋物線y＝ax2+bx的對稱軸是x＝2，

∴ ，

解之，得；

（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，m）．由（1）可得拋物線，

∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，﹣3），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，0）．

當(dāng)∠CBD＝90°時(shí)，有BC2+BD2＝CD2．

∴ ，

解之，得，

∴；

當(dāng)∠CDB＝90°時(shí)，有CD2+BD2＝BC2．

∴，

解之，得，

∴；

當(dāng)∠BCD＝90°時(shí)，有CD2+BC2＝BD2．

∴，此方程無解．

綜上所述，當(dāng)△BDC為直角三角形時(shí)，△OBC的面積是或；

（3）設(shè)直線y＝kx過點(diǎn)A(5， )，可得直線．

由（1）可得拋物線，

∴PQ=x(x23x)＝x2+x＝(x)2+，

∴當(dāng)x=時(shí)，PQ最大，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)是 ．

∴PQ最大時(shí)，線段BQ為定長．

∵MN＝2，

∴要使四邊形BQMN的周長最小，只需QM+BN最小．

將點(diǎn)Q向下平移2個單位長度，得點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)，直線BQ2與對稱軸的交點(diǎn)就是符合條件的點(diǎn)N，此時(shí)四邊形BQMN的周長最小．

設(shè)直線y＝cx+d過點(diǎn)和點(diǎn)B（4，0），

則,

解之，得,

∴直線過點(diǎn)Q2和點(diǎn)B．

解方程組 得,

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，

所以點(diǎn)Q、M、N的坐標(biāo)分別為 ， ，．