Question

【題目】正方形OABC的邊長為4，對角線相交于點P，拋物線L經過O、P、A三點，點E是正方形內的拋物線上的動點．

（1）建立適當的平面直角坐標系，
①直接寫出O、P、A三點坐標；
②求拋物線L的解析式；
（2）求△OAE與△OCE面積之和的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：以O點為原點，線段OA所在的直線為x軸，線段OC所在的直線為y軸建立直角坐標系，如圖所示．

①∵正方形OABC的邊長為4，對角線相交于點P，

∴點O的坐標為（0，0），點A的坐標為（4，0），點P的坐標為（2，2）．

②設拋物線L的解析式為y=ax2+bx+c，

∵拋物線L經過O、P、A三點，

∴有 ，

解得： ，

∴拋物線L的解析式為y=﹣ +2x

（2）

解：∵點E是正方形內的拋物線上的動點，

∴設點E的坐標為（m，﹣ +2m）（0＜m＜4），

∴S△OAE+SOCE= OAyE+ OCxE=﹣m2+4m+2m=﹣（m﹣3）2+9，

∴當m=3時，△OAE與△OCE面積之和最大，最大值為9

【解析】（1）以O點為原點，線段OA所在的直線為x軸，線段OC所在的直線為y軸建立直角坐標系．①根據正方形的邊長結合正方形的性質即可得出點O、P、A三點的坐標；②設拋物線L的解析式為y=ax2+bx+c，結合點O、P、A的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；（2）由點E為正方形內的拋物線上的動點，設出點E的坐標，結合三角形的面積公式找出S△OAE+SOCE關于m的函數解析式，根據二次函數的性質即可得出結論．本題考查了待定系數法求函數解析式、正方形的性質、三角形的面積公式以及二次函數的性質，解題的關鍵是：（1）建立直角坐標系．①根據正方形的性質找出點的坐標；②利用待定系數法求函數解析式；（2）利用二次函數的性質解決最值問題．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，建立直角坐標系，找出點的坐標，再結合點的坐標利用待定系數法求出函數解析式是關鍵．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質和三角形的面積，需要了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；三角形的面積=1/2×底×高才能得出正確答案．