Question

【題目】已知：正方形ABCF中，E為BC中點，點D在CF上，AB=4，CD=1．

（1）判斷△AED的形狀，并證明；

（2）AC交DE于點N，M在AE上，且滿足BM2﹣ME2=EN2﹣CN2，求證：BM⊥AC；

（3）若△APE是以AE為斜邊的等腰直角三角形，直接寫出BP的長．

Answer 1

【答案】（1）△AED是直角三角形，證明見解析；（2）證明見解析；（3）BP=或．

【解析】

（1）根據△AED是直角三角形，并通過AE2+DE2＝AD2來進行判斷；

（2）由題意延長BM交AC于H，延長NE到G，使EG＝EN，連接BG、MG，并通過構造ME是線段GN的垂直平分線，可得MG＝MN，進而通過BM2﹣ME2＝EN2﹣CN2可得BM2+CN2＝MG2，從而得到∠MBG＝90°；由構造所得△BEG≌△CEN，從而證明BG∥AC，所以∠AHB＝90°，從而證明BM⊥AC；

（3）根據題意，運用矩形和正方形性質以及分類討論的思維分兩種情形分別進行分析求解即可．

解：（1）△AED是直角三角形．

證明：∵正方形ABCF，AB=4，

∴BC=CF=AF=AB=4，∠B=∠C=∠F=90°，

∵CD=1，

∴DF=CF﹣CD=3，

∵E為BC中點，

∴BE=CE=2，

在Rt△ABE中，∠B=90°，由勾股定理得AE2=AB2+BE2=20

在Rt△CDE中，∠C=90°，由勾股定理得DE2=CE2+CD2=5

在Rt△AFD中，∠F=90°，由勾股定理得AD2=AF2+DF2=25

∵AE2+DE2=20+5=25=AD2，

∴△AED是直角三角形．

（2）如圖，延長BM交AC于H，延長NE到G，使EG=EN，連接BG、MG

由（1）知，∠AED=90°，

∴ME⊥GN，

又∵EG=EN，

∴MG=MN，

∵BM2﹣ME2=EN2﹣CN2，

∴BM2+CN2=EN2+ME2=MN2，

∴BM2+CN2=MG2，

∴△BMG是直角三角形，且∠MBG=90°，

∵E為BC中點，

∴BE=CE，

在△BEG和△CEN中

，

∴△BEG≌△CEN(SAS)，

∴∠GBE=∠NCE，

∴BG∥AC，

∴∠AHB=∠MBG=90°，

∴BM⊥AC.

（3）BP=3或．

解析如下：

如圖，以AE為斜邊作等腰直角三角形APE，連接BP．作PM⊥AB于M，作PN⊥BE于N，

∴∠AMP=∠PNE=90°，PA=PE，

∵∠ABE=∠APE=90°，

∴∠BAP+∠BEP=180°，

∵∠BEP+∠PEN=180°，

∴∠BAP=∠PEN，

在△AMP和△ENP中

，

∴△AMP≌△ENP(AAS)，

∴AM=EN，PM=PN，

∵∠ABE=∠PMB=∠PNE=90°，

∴四邊形PMBN是矩形，

又∵PM=PN，

∴四邊形PMBN是正方形，

∴BM=BN，

∵BM+BN=AB﹣AM+BE+EN=AB+BE=6，

∴BM=BN=3，

∵BP是正方形PMBN的對角線，

∴BPBM=3，

當點P在直線AE的下方時，同法可得BP'BM'，

綜上所述滿足條件的BP的長為3或．