Question

先觀察下列各式：

1

1×4

=

1

3

(1-

1

4

)，

1

4×7

=

1

3

(

1

4

-

1

7

)，

1

7×10

=

1

3

(

1

7

-

1

10

)，…

1

n(n+3)

=

1

3

(

1

n

-

1

n+3

)．
根據以上的觀察，計算：

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

+…+

1

2005×2008

的值．

Answer 1

分析：由式

1

1×4

=

1

3

(1-

1

4

)，

1

4×7

=

1

3

(

1

4

-

1

7

)，

1

7×10

=

1

3

(

1

7

-

1

10

)，…

1

n(n+3)

=

1

3

(

1

n

-

1

n+3

)可以看出，分子是1，分母是相差3的兩個自然數的乘積等于以這兩個自然數為分母，分子是1的兩個分數差的

1

3

，由此規律把原算式裂項，求得結果即可．

解答：解：原式=

1

3

×（1-

1

4

）+

1

3

×（

1

4

-

1

7

）+

1

3

×（

1

7

-

1

10

）+…+

1

3

×（

1

2005

-

1

2008

）
=

1

3

×（1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+

1

7

-

1

10

+…+

1

2005

-

1

2008

）
=

1

3

×（1-

1

2008

）
=

1

3

×

2007

2008

=

669

2008

．

點評：此題考查利用分數的拆項，把有理數的混合運算，轉化為有規律的簡便運算，使計算簡便可行．